1. Элементы векторной алгебры и аналитичеcкой геометрии
  2. Элементы линейной алгебры
  3. Введение в математический анализ
  4. Производная и её приложения
  5. Приложения дифференциального исчисления
  6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  7. Неопределённый и определённый интегралы
  8. Дифференциальные уравнения
  9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
  10. Ряды
  11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление
  12. Теория вероятностей и математическая статистика











СБОРНИК ЗАДАЧ АРУТЮНОВА Ю. С.



        Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

        1-10.  Даны векторы    ,    ,     и   в некотором базисе. Показать, что векторы     образуют базис и найти координаты вектора     в этом базисе.
        11-20.  Даны координаты вершин пирамиды    . Найти: 1) длину ребра    А1А2; 2) угол между ребрами     и     3) угол между ребром     и гранью     4) площадь грани     5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой     7) уравнение плоскости     8) уравнение высоты, опущенной из вершины     на грань    . Сделать чертеж.         41-50.  Линия задана уравнением         в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от         до         и придавая         значения через промежуток         ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.


        Элементы линейной алгебры.

        51-60.   Дана система линейных уравнений
Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.


        61-70.   Даны два линейных преобразования
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее         через        .


        71-80.   Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.


        81-90.   Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.


        91-100.   Дано комплексное число         . Требуется: 1) записать число         в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения         .



Введение в математический анализ.


Производная и её приложения входят следующие задачи.


Приложения дифференциального исчисления.
  • 191-210. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и, используя результаты исследования, построить её график.
  •     191.                            192.    

  •     193.                            194.    

  •     195.                            196.    

  •     197.                            198.    

  •     199.                            200.    

  •     201.                            202.    

  •     203.                            204.    

  •     205.                            206.    

  •     207.                            208.    

  •     209.                            210.    



  • 211-220. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t0.

        211    212    213    214    215    216    217    218    219    220

  • 221-230. Определить количество действительных корней уравнения         , отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

        221    222    223    224    225    226    227    228    229    230




Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

        231-240.  Дана функция    ,   Показать, что

        241-250.  Даны функция     и две точки     и     . Требуется: 1) вычислить значение     функции в точке     2) вычислить приближенное значение     функции в точке    , исходя из значения     функции в точке     и заменив приращение функции при переходе от точки     к точке     дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности     в точке    .         251-260.  Найти наименьшее и наибольшее значения функции     в замкнутой области     , заданной системой неравенств. Сделать чертеж.         261-270.  Даны функция     , точка     и вектор     . Найти: 1)     в точке     ; 2) производную в точке     по направлению вектора    .         271-280.   Экспериментально получены пять значений искомой функции     при пяти начениях аргумента, которые записаны в таблице

Методом наименьших квадратов найти функцию     , выражающую приближённо (аппроксимирующую) функцию     . Сделать чертёж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксиимирующей функции     .


Неопределённый и определённый интегралы.

"Дифференциальные уравнения".


Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ.


Ряды.

  •       421-430.   Исследовать сходимость ряда         .

          421.     422.     423.    424.    425.     426.     427.     428.     429.     430.



  •       431-440.   Найти интервал сходимости степенного ряда         .

          431.     432.     433.    434.    435.     436.     437.     438.     439.     440.



  •       441-450.   Вычислить определенный интеграл         с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

          441.     442.     443.    444.    445.     446.     447.     448.     449.     450.



  •       451-460.   Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения         дифференциального уравнения        , удовлетворяющего начальному условию         .

          451.     452.     453.    454.    455.     456.     457.     458.     459.     460.



  •       461-470.   Разложить данную функцию         в ряд Фурье в интервале (а;b).

          451.     462.     463.    464.    465.     466.     467.     468.     469.     470.




Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.

  •       471-480.   Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением        , если в начальный момент         форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями


          471.     472.     473.    474.    475.     476.     477.     478.     479.     480.



  •       481-490.   Представить заданную функцию W=f(z), где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке         .

          481.     482.     483.    484.    485.     486.     487.     488.     489.     490.



  •       491-500.   Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки         и определить область сходимости ряда.

          491.     492.     493.    494.    495.     496.     497.     498.     499.     500.



  •       501-510.   Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

          501.     502.     503.    504.    505.     506.     507.     508.     459.     510.



  •       511-520.   Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

          511.     512.     513.    514.    515.     516.     517.     518.     519.     520.




        В раздел 12. "Теория вероятностей и математическая статистика" включены следующие задания: 531-540. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х1 и х2, причем х1 меньше x2. Известны вероятность р1 возможного значения х1, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.
541-540. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. 551-560. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины x. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α, β) 561-570. Задана матрица Р1 вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р2 перехода из состояния i в состояние j за два шага 571-580. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю         , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.







Рейтинг@Mail.ru