1. Элементы векторной алгебры и аналитичеcкой геометрии
   
   
2. Элементы линейной алгебры
   
   
3. Введение в математический анализ
   
   
4. Производная и её приложения
   
   
5. Приложения дифференциального исчисления
   
   
6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
   
   
7. Неопределённый и определённый интегралы
   
   
8. Дифференциальные уравнения
   
   
9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
   
   
10. Ряды
    
    
11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление
    
    
12. Теория вероятностей и математическая статистика
    
    

Решебник Арутюнова Ю. С.
1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

        Решения задач из этого раздела размещены в формате pdf. Для их прочтения вам понадобится программа Adobe Reader, которую Вы можете скачать здесь.

        В раздел "Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии" входят следующие задачи.

        1-10.  Даны векторы    ,    ,     и   в некотором базисе. Показать, что векторы     образуют базис и найти координаты вектора     в этом базисе.

• 1. а(1;2;3), b(–1;3;2), c(7;–3;5). d(6;10;17).
• 2. а(4;7;8), b(9;1;3), c(2;–4;1). d(1;-13;-13).
• 3. а(8;2;3), b(4;6;10), c(3;–2;1). d(7;4;11).
• 4. а(10;3;1), b(1;4;2), c(3;9;2). d(19;30;7).
• 5. а(2;4;1), b(1;3;6), c(5;3;1). d(24;20;6).
• 6. а(1;7;3), b(3;4;2), c(4;8;5), d(7;32;14).
• 7. а(1;-2;3), b(4;7;2), c(6;4;2). d(14;18;6).
• 8. а(1;4;3), b(6;8;5), c(3;1;4). d(21;18;33).
• 9. а(2;7;3), b(3;1;8), c(2;-7;4), d(16;14;27).
• 10. а(7;2;1), b(4;3;5), c(3;4;-2), d(2;-5;-13).

        11-20.  Даны координаты вершин пирамиды    . Найти: 1) длину ребра    А1А2; 2) угол между ребрами     и     3) угол между ребром     и гранью     4) площадь грани     5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой     7) уравнение плоскости     8) уравнение высоты, опущенной из вершины     на грань    . Сделать чертеж.

• 11. А1(4;2;5), А2(0;7;2), А3(0;2;7), А4(1;5;0).
• 12. А1(4;4;10), А2(4;10;2), А3(2;8;4), А4(9;6;4).
• 13. А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4(7;5;9).
• 14. А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4), А4(4;7;8).
• 15. А1(10;6;6), А2(-2;8;2), А3(6;8;9), А4(7;10;3).
• 16. А1(1;8;2), А2(5;2;6), А3(5;7;4), А4(4;10;9).
• 17. А1(6;6;5), А2(4;9;5), А3(4;6;11), А4(6;9;3).
• 18. А1(7;2;2), А2(5;7;7), А3(5;3;1), А4(2;3;7).
• 19. А1(8;6;4), А2(10;5;5), А3(5;6;8), А4(8;10;7).
• 20. А1(7;7;3), А2(6;5;8), А3(3;5;8), А4(8;4;1).

• 21. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(–1;0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
• 22. Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из его диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.
• 23. Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.
• 24. Даны две вершины А(–3;3) и В(5;–1) и точка D(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
• 25. Даны вершины А(–3; –2), В(4; –1), С(1;3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертёж.
• 26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.
• 27. Даны две вершины А(2;–2) и В(3;–1) и точка Р(1;0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенного через третью вершину С. Сделать чертеж.
• 28. Даны уравнения двух высот треугольника x+y=4 и y=2x и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника.
• 29. Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+1=0 и у–1=0 и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.
• 30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0 и 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертёж.
• 31. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5;0) относится как 2:1.
• 32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1;0) вдвое меньше расстояния её от прямой х=–4.
• 33. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5х+8=0 относятся как 5:4.
• 34. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).
• 35. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5.
• 36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В(26;0).
• 37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой у–4=0.
• 38. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности        .
  Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.
• 39. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и от прямой у+2=0.
• 40. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4;0) втрое дальше, чем от начала координат.

        41-50.  Линия задана уравнением         в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от         до         и придавая         значения через промежуток         ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

• 41.
          .
• 42.
          .
• 43.
          .
• 44.
          .
• 45.
          .
• 46.
          .
• 47.
          .
• 48.
          .
• 49.
          .
• 50.
          .

Другие разделы сборника Арутюнова Ю. С.