ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ
Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они направлены в разные стороны.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Свойства: Для любых векторов \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) и любых чисел \(k, \, l\) справедливы равенства:
1. \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\)
2. \((\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b)+\vec c\)
3. \(\vec a+\vec 0=\vec a\)
4. \(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\)
5. \((k\cdot l)\vec a=k\cdot (l\cdot \vec a)\)
6. \((k+l)\cdot \vec a=k\cdot \vec a+l\cdot \vec a\)
7. \(k\cdot (\vec a+\vec b)=k\cdot \vec a+k\cdot \vec b\)
8. \(1\cdot \vec a=\vec a\)
Лемма: Если векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) коллинеарны и \(\vec a\neq0,\) то существует такое число \(k,\) что \(\vec b=l\cdot\vec a.\)
Координаты вектора, с началом в точке \(A(x_1;\,y_1)\) и концом в точке \(B(x_2;\,y_2)\), равны разностям координат конца и начала, то есть $$\vec a=\overrightarrow{AB}\{x_2-x_1;\,y_2-y_1\}.$$ Координаты середины отрезка \(АВ,\) с концами в точках \(A(x_1;\,y_1)\) и \(B(x_2;\,y_2),\) равны $$x=\frac{x_1+x_2}2, \quad y=\frac{y_1+y_2}2.$$
Длина вектора \(\vec a\{x;\,y\}\) вычисляется по формуле$$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}.$$
Расстояние между точками \(A(x_1;\,y_1)\) и \(B(x_2;\,y_2)\) выражается формулой $$d=|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$
ПЛАНИМЕТРИЯ
Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора: \(a^2+b^2=c^2.\)
Сумма острых углов равна \(90^o\), то есть \(\alpha+\beta=90^o.\)
Соотношение сторон в прямоугольном треугольнике: $$a=c\cdot sin\alpha=c\cdot cos\beta=b\cdot tg\alpha=b\cdot ctg\beta;$$$$b=c\cdot sin\beta=c\cdot cos\alpha=a\cdot tg\beta=a\cdot ctg\alpha;$$$$c=\frac a{sin\alpha}=\frac a{cos\beta}=\frac b{sin\beta}=\frac b{cos\alpha};$$$$sin\alpha=\frac ac;\quad sin\beta=\frac bc;\quad cos\alpha=\frac bc; \quad cos\beta=\frac ac;$$$$tg\alpha=\frac ab;\quad tg\beta=\frac ba;\quad ctg\alpha=\frac ba; \quad ctg\beta=\frac ab.$$
Площадь треугольника:$$S=\frac12ab=\frac12ch_c.$$
Произвольный треугольник
Теорема косинусов:$$c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma,$$$$a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha$$$$b^2=c^2+a^2-2cacos\beta.$$ Теорема синусов:$$\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}.$$ Сумма углов треугольника: $$\alpha+\beta+\gamma=180^o.$$ Площадь треугольника:$$S=\frac12absi\gamma=\frac12bcsi\alpha=\frac12casi\beta;$$$$S=\frac12ah_a=\frac12bh_b=\frac12ch_c.$$ Формула Герона:$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$где \(p\) — полупериметр,$$p=\frac{a+b+c}2.$$ Связь площади треугольника с радиусом вписанной окружности \(r\) и радиусом описанной окружности \(R\):$$S=r\cdot p=\frac{abc}{4R}.$$
Четырёхугольники.
Площадь трапеции:$$S=ch=\frac{a+b}2h.$$Здесь: \(a,\, b\) — основания трапеции; \(h\) — высота трапеции; \(c=\frac{a+b}2\) — средняя линия трапеции.
Площадь параллелограмма:$$S=absin\gamma.$$Здесь \(a,\, b\) — смежные стороны параллелограмма, а \(\gamma\) — угол между ними.
Площадь ромба:$$S=\frac12d_1d_2.$$Здесь \(d_1,\, d_2\) — диагонали ромба.
Площадь произвольного четырёхугольника:$$S=\frac12d_1d_2sin\gamma.$$Здесь \(d_1,\, d_2\) — диагонали четырёхугольника, \(\gamma\) — угол между диагоналями.
Правильные многоугольники
Угол правильного многоугольника:$$\alpha_n=\frac{n-2}n180^o.$$ Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Площадь правильного \(n\)–угольника:$$S=\frac12Pr.$$Здесь \(P\) — периметр многоугольника, а \(r\) — радиус вписанной окружности.
Сторона правильного многоугольника равна:$$a_n=2Rsin\frac{180^o}n.$$Здесь \(R\) — радиус описманной окружности.
Радиусы вписанной и описанной окружностей связаны соотношением:$$r=Rcos\frac{180^o}n.$$
Окружность и круг
Площадь круга радиуса \(R\) равна: \(S=\pi R^2.\)
Длина окружности радиуса \(R\) равна: \(L=2\pi R.\)
Длина дуги окружности с углом \(\alpha\) равна:$$l=\frac{\pi R}{180}\alpha.$$ Площадь сектора с углом \(\alpha\) равна:$$S=\frac{\pi R^2}{360}\alpha.$$ Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(R\) имеет вид:$$x^2+y^2=R^2.$$ Уравнение окружности с центром в точке \(C(x_0;\, y_0)\) и радиусом \(r\) имеет вид:$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$$
Уравнение прямой вид: \(y=kx+b\) или$$Ax+By+C=0.$$
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Куб
Объём куба со стороной \(a\) равен: \(V=a^3.\)
Площадь полной поверхности куба: \(S=6a^2.\)
Параллелепипед
Объём прямоугольного параллелепипеда со сторонами \(a,\, b, \, c\) равен: \(V=abc.\)
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами \(a,\, b, \, c\) равна: \(S=2(ab+bc+ca).\)
Объём произвольного параллелепипеда с площадью основания \(S_0\) и высотой \(h\) равен: \(V=S_0h.\)
Призма
Объём призмы с площадью основания \(S_0\) и высотой \(h\) равен: \(V=S_0h.\)
Площадь боковой поверхности призмы при известном периметре основания \(P\) и высоте \(h\) рассчитывается по формуле: \(S_{бок}=Ph.\)
Пирамида
Объём пирамиды с площадью основания \(S_0\) и высотой \(h\) равен: \(V=\frac13S_0h.\)
Цилиндр
Объём цилиндра: \(V=S_0h=\pi R^2h.\)
Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок}=2\pi Rh.\)
Площадь полной поверхности цилиндра: \(S=2\pi R(R+h).\)
Kонус
Объём конуса: $$V=\frac13S_0h=\frac13\pi R^2h.$$ Площадь боковой поверхности конуса: \(S_{бок}=\pi RL.\)
Площадь полной поверхности цилиндра: \(S=\pi R(R+L).\)
Здесь \(R\) — радиус основания конуса, \(h\) — высота конуса, \(L\) — образующая конуса.
По теореме Пифагора \(L^2=R^2+h^2.\)
Сфера и шар
Объём шара радиуса \(R\):$$V=\frac43\pi R^3.$$
Площадь сферы радиуса \(R\): \(S=4\pi R^2.\)
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГЕОМЕТРИИ 7 КЛ.
Углы и прямые.
Т (теорема). Сумма смежных углов равна 180°.
Т. Вертикальные углы равны.
О (определение). Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
Т. Две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.
Треугольники.
Треугольники могут использоваться при решении задачи по физике.
Признаки равенства треугольников.
1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
О. Отрезок \(AH\) называется перпендикуляром, проведённым из точки \(A\) к прямой \(a,\) если прямые \(AH\) и \(a\) перпендикулярны. Точка \(H\) называется основанием перпендикуляра.
Т. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
О. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
О. Биссектриса угла это прямая, проходящая через вершину угла и делящая угол пополам.
О. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
О. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Равнобедренный треугольник.
О. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника.
О. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
Т. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Т. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Т. Сумма углов треугольника равна 180°.
Т. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.
С (следствие). В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Т. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Окружность
О. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину.
О. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой.
О. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Длина диаметра равна двум длинам радиуса.
О. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Прямоугольный треугольник.
Т. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Т. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Параллельные прямые.
О. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
О. Прямая \(c\) называется секущей по отношению к прямым \(a\) и \(b,\) если она пересекает их в двух точках.
Признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Аксиома параллельных прямых и следствия из неё.
А (аксиома). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
С. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
С. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
С. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Т. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
