Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        13.31. Найти общее решение дифференциального уравнения    y′ ′′+y′′−6y′=(20x+14)e^2x.

Решение.

        Исходное дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение   k³+k²− 6k = 0. Корни характеристического уравнения k₁=0; k₂=2; k₃=− 3. Соответствующее однородное дифференциальное уравнение имеет общее решение следующего вида

y_о=С₁+С₂e^2x+ С₃e^−3x.

        Частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде

y_ч=(Ax²+Bx)e^2x.

        Найдём производные

y′_ч=(2Ax²+2Bx+2Ax+B)e^2x.

y′′_ч=(4Ax²+4Bx+8Ax+4B+2A)e^2x.

y′′′_ч=(8Ax²+8Bx+24Ax+12B+12A)e^2x.

        Подставим в исходное дифференциальное уравнение. Получим

(8Ax² + 8Bx + 24Ax + 12B + 12A)e^2x +

        + (4Ax² + 4 Bx + 8Ax + 4B + 2A)e^2x −

        − 6(2Ax² + 2Bx + 2Ax + B)e^2x = (20x + 14)e^2x.

        Отсюда

8Ax² + 8Bx + 24Ax + 12B + 12A + 4Ax² + 4Bx + 8Ax +

        + 4B + 2A − 6(2Ax² + 2Bx + 2Ax + B) = 20x + 14,

        или

12Bx + 32Ax + 16B + 14A − 12Bx − 12Ax − 6B = 20x + 14,

        или

20Ax + 10B + 14A = 20x + 14.

        Приведём подобные

20A = 20; 10B + 14A = 14.

        Отсюда A = 1; B = 0. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет частное решение

y_ч = x²e^2x.

        Тогда общее решение дифференциального уравнения

y(x) = y_ч + y_о = x²e^2x + С₁ + С₂e^2x + С₃e^−3x.

        Ответ: Общее решение дифференциального уравнения

y(x) = С₁ + (x² + С₂)e^2x + С₃e^−3x.