1. Пределы

  2. Дифференцирование

  3. Графики

  4. Интегралы

  5. Дифференциальные уравнения

  6. Ряды

  7. Кратные интегралы

  8. Векторный анализ

  9. Аналитическая геометрия

  10. Линейная алгебра

  11. Уравнения математической физики













Решебник Кузнецова Л. А.
V Дифференциальные уравнения

Задание 4. Найти решение задачи Коши.


        Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 7

        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6

        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12

    Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18

    Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24

    Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30

        Вариант 31



        4.7 Найти решение задачи Коши

.

Решение.

        Это линейное, неоднородное уравнение первого порядка, и для него мы сейчас найдём решение задачи Коши. Будем искать решение, по методу Бернулли, в виде         . Тогда производная         . Подставим в исходное уравнение. Получим
.

        Перепишем уравнение в виде

        Примем, что

        Тогда
.

        В первом уравнении разделим переменные

и проинтегрируем его

        Получим
.
Отсюда         . Тогда другое уравнение запишется
.
Интегрируем и его
.

        Тогда, общее решение исходного дифференциального уравнения запишется
.

        Но это ещё не решение задачи Коши. Никто и не говорил, что задача Коши решается легко.
        Воспользуемся начальным условием для определения неизвестного С.
        Отсюда
  .
        Тогда частное решение – решение задачи Коши – запишется
        Сделаем проверку. Для этого производную найденного решения
и само решение подставим в исходное уравнение и начальное условие.
        Уравнение обращается в тождество
.
Начальное условие удовлетворяется
.
Следовательно, решение задачи Коши найдено верно.
        Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка с постоянными коэффициентами запишется
.

        Ответ: Решение задачи Коши
.