Задача 1. Написать разложением вектора \(\mathbf x\) по векторам \(\mathbf p, \mathbf q, \mathbf r\).

        Введите номер своего варианта от 1 до 31 или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        Задача 1. Написать разложение вектора \(\mathbf x=\{10,3,3\}\) по векторам \(\mathbf p=\{2,3,1\}, \; \mathbf q=\{3,7,2\}, \; \mathbf r=\{5,4,3\}\).

Решение.

        Векторы \(\mathbf x, \mathbf p, \mathbf q , \mathbf r\) заданы в одном базисе. Запишем разложение вектора \(\mathbf x\) по векторам \(\mathbf p, \mathbf q , \mathbf r\) $$ \mathbf x= x_1\mathbf p+x_2\mathbf q+x_3\mathbf r.$$        Из равенства векторов следует равенство их одноимённых координат. Из этого следует система линейных уравнений:$$\begin{cases}2x_1+3x_2+5x_3=10,\\ 3x_1+7x_2+4x_3=3,\\ x_1+2x_2+2x_3=3\end{cases}$$         Найдём основной определитель системы$$A=\begin{vmatrix}2&3&5\\3&7&4\\1&2&2\end{vmatrix}=2\cdot7\cdot2+3\cdot4\cdot1+3\cdot2\cdot5-1\cdot7\cdot5-2\cdot4\cdot2-3\cdot2\cdot3=1\neq0.$$        Вспомогательные определители:$$A_1=\begin{vmatrix}10&3&5\\3&7&4\\3&2&2\end{vmatrix}=10\cdot7\cdot2+3\cdot4\cdot3+3\cdot2\cdot5-3\cdot7\cdot5-10\cdot4\cdot2-3\cdot2\cdot3=3,$$$$A_2=\begin{vmatrix}2&10&5\\3&3&4\\1&3&2\end{vmatrix}=2\cdot3\cdot2+10\cdot4\cdot1+3\cdot3\cdot5-1\cdot3\cdot5-2\cdot4\cdot3-10\cdot2\cdot3=-2,$$$$A_3=\begin{vmatrix}2&3&10\\3&7&3\\1&2&3\end{vmatrix}=2\cdot7\cdot3+3\cdot3\cdot1+3\cdot2\cdot10-1\cdot7\cdot10-2\cdot3\cdot2-3\cdot3\cdot3=2.$$        Решение системы, по формулам Крамера, равно $$x_1={A_1 \over A}=\frac31=3, \qquad x_2={A_2 \over A}={-2\over1}=-2, \qquad x_3={A_3 \over A}=\frac21=2.$$        Следовательно, искомое разложение вектора \(\mathbf x=3\mathbf p-2\mathbf q+2\mathbf r\).

        Ответ: \(\mathbf x=3\mathbf p-2\mathbf q+2\mathbf r\).

        Если ваши векторы не соответствуют ни одному из 31 вариантов, введите свои координаты в окошки ниже.

        Задача. Написать разложением вектора \(\mathbf x\) по векторам \(\mathbf p, \mathbf q, \mathbf r\).