Задача 7. Провести полное исследование функции и построить её график.
Исследование функции проводится в соответствии с планом полного исследования функции. Посмотрите образец такого исследования с построением графика.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
7.3. Провести полное исследование функции и построить её график
Решение.
1) Область определения: 
или 
, то есть 
.
Таким образом: 
.
2) Точек пересечения с осью Ox нет. Действительно, уравнение 
не имеет решений. Точек пересечения с осью Oy нет, так как 
.
3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как
. Видим, что 
и 
.
4) Функция непрерывна в области определения
; 
. Следовательно, точка 
является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
; 
. Следовательно, точка 
является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
5)Вертикальные асимптоты: 
Найдём наклонную асимптоту 
. Здесь
; 
. Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: y=0. Наклонных асимптот нет.
6) Найдём первую производную. Первая производная:
. И вот почему
. Найдём стационарные точки, где производная равна нулю, то есть
. 7) Найдём вторую производную. Вторая производная:
. И в этом легко убедится, так как
. Найдём точки перегиба графика функции, в которых вторая производная обращается в ноль. То есть
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительный максимум (-1;-2).
8) Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график функции.
