Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью α.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.







        9.3. Вычислить сумму ряда с точностью α.

Решение.

       

        Знакочередующийся ряд

        удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.

        Сумма ряда: S = Sn + Rn, здесь Rn    —    остаток ряда.

        По условию задачи    Rn < α = 0,001.

        По следствию к теореме Лейбница, для знакопеременных рядов остаток ряда по модулю меньше первого отброшенного члена.

        Последнее неравенство выполняется при n=5, значит достаточно оставить первые пять членов ряда.





        Для приближённого вычисления суммы знакочередующегося ряда используется признак Лейбница, а точнее следствие из этого признака.

        Числовой ряд называется знакочередующимся, если его положительные члены чередуются с отрицательными членами.

        Знакочередующийся ряд называется рядом Лейбница, если каждый последующий член по абсолютной величине не превосходит или меньше предыдущего члена, и при этом предел последовательности абсолютных величин членов ряда равен нулю.

        Признак Лейбница утверждает, что такой ряд, то есть ряд Лейбница, сходится и при этом его сумма не превосходит по абсолютной величине первого члена ряда.

        Из этого признака непосредственно вытекает следствие, согласно которому, остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого отброшенного члена. А это, в свою очередь, означает, что для вычисления суммы ряда Лейбница с заданной точностью, нужно найти первый член, который меньше этой заданной точности и отбросить его и все последующие члены ряда, а те члены, которые остались, то есть которые больше, чем заданная точность, сложить. Эти члены, большие заданной точности по абсолютной величине, стоят в начале ряда.