Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью α.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
9.3. Вычислить сумму ряда с точностью α.
Решение.
удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.
Сумма ряда:
По условию задачи
По следствию к теореме Лейбница, для знакопеременных рядов остаток ряда по модулю меньше первого отброшенного члена.
Последнее неравенство выполняется при n=5, значит достаточно оставить первые пять членов ряда.
Для приближённого вычисления суммы знакочередующегося ряда используется признак Лейбница, а точнее следствие из этого признака.
Числовой ряд называется знакочередующимся, если его положительные члены чередуются с отрицательными членами.
Знакочередующийся ряд называется рядом Лейбница, если каждый последующий член по абсолютной величине не превосходит или меньше предыдущего члена, и при этом предел последовательности абсолютных величин членов ряда равен нулю.
Признак Лейбница утверждает, что такой ряд, то есть ряд Лейбница, сходится и при этом его сумма не превосходит по абсолютной величине первого члена ряда.
Из этого признака непосредственно вытекает следствие, согласно которому, остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого отброшенного члена. А это, в свою очередь, означает, что для вычисления суммы ряда Лейбница с заданной точностью, нужно найти первый член, который меньше этой заданной точности и отбросить его и все последующие члены ряда, а те члены, которые остались, то есть которые больше, чем заданная точность, сложить. Эти члены, большие заданной точности по абсолютной величине, стоят в начале ряда.