Программа по Теории
Функции Комплексного Переменного.


Содержание учебной дисциплины
Высшая математика.


Программа по Высшей математике в техническом ВУЗе.

Высшая математика.


Математический анализ

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Числовая прямая. Открытые и замкнутые интервалы. Окрестность точки, ?- и ?-окрестность точки на прямой. Символы общности, существования, принадлежности элемента множеству. Модуль числа. Свойства модуля.

Числовая последовательность

как функция целочисленной переменной. Примеры числовых последовательностей. Факториал. Предел числовой последовательности. Теорема об ограниченности последовательности, имеющей предел. Единственность предела.
Понятие числового ряда, частичные суммы, сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Функция. Способы задания и исследования функций, их ограниченность и неограниченность. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
Обратные, сложные, параметрически и неявно заданные функции. Векторные функции времени, определяющие движение точки в пространстве.

Предел функции

Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Пределы сумм, произведений и частного функций, имеющих пределы.
Бесконечно малые функции. Функция как сумма постоянной и бесконечно малой. Сравнение и свойства бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции.

Пределы

на бесконечности и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.
Пределы слева и справа. Практические приемы вычисления пределов. Предельные переходы в неравенствах.
Непрерывность функции в точке и на интервале. Локальные свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность сложной и обратной функции.
Скорость и перемещение точки при движении по прямой. Производная. Дифференцируемость функции.

Дифференциал

Необходимое условие дифференцируемости функции.
Касательная к графику функции. Тангенс угла наклона касательной. Уравнение касательной и нормали. Линеаризация дифференцируемых функций. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производные основных элементарных функций.
Ускорение точки, движущейся по прямой. Вторая производная. Второй закон Ньютона. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
Формулы Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для функции. Остаточный член. Формула Маклорена.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций exp х, sin x, cos x, ln (1+x) в ряд Маклорена. Биноминальный ряд.
Монотонность функции. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Исследование функции.
Точечные множества в пространстве R2 и их элементарные топологические понятия и свойства: окрестности точки в R2; предельная, внутренняя, изолированная и граничные точки множества, открытые и замкнутые множества, связные множества. Область пространства.
Распределение температур, плотности и т. п. величин на плоскости. Функция двух переменных. Линии уровня. Графическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функций двух переменных.
Производная по направлению и частные производные. Формула, выражающая производную по направлению через частные производные.
Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Производные сложных функций. Дифференцирование функций одной переменной, заданных неявным образом.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Функции трех и более переменных. Поверхности уровня. Пределы, непрерывность, дифференцируемость.

Интегрирование

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Методы интегрирования: подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.

Интегрирование рациональных функций

.

Интегрирование иррациональных, тригонометрических и гиперболических функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
Задачи определения массы стержня с переменной плотностью и площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
Вычисление площадей плоских фигур в декартовай и полярной системе координат.
Площадь неограниченной области. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Дирихле. Интегральный признак Коши.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теоремы сравнения.
Длина дуги. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
Кривизна кривой. Радиус кривизны. Центр кривизны.
Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.

Кратные интегралы и векторный анализ

Масса дуги кривой с переменной линейной плотностью. Криволинейный интеграл по длине дуги.
Задачи о массе пластины с переменной плотностью. Объём тела. Двойной интеграл как пределы интегральных сумм.
Масса пространственного тела. Тройной интеграл.
Свойства кратных интегралов. Обобщение на n-мерный случай.
Правильная область. Повторный интеграл. Свойства повторного интеграла.
Вычисление двойных и тройных интегралов посредством сведения к повторным. Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан и его геометрический смысл.
Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным и обобщённым полярным координатам.
Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим координатам и сферическим координатам.
Геометрические и механические приложения кратных интегралов. Статический момент, моменты инерции, изгибающий и крутящий моменты.
Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение заряда, распределённого по поверхности с переменной поверхностной плотностью.
Движение точки в пространстве. Траектория, скорость и ускорение. Векторная функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность векторной функции.
Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов.
Касательная, главная нормаль и бинормаль кривой. Соприкасающаяся плоскость. Поле температуры сплошной среды, поле вектора скорости. Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Уравнение векторной линии.
Градиент скалярного поля. Свойства градиента. Связь градиента и производной по направлению.
Векторный оператор «набла». Дифференциальные операторы 2-го порядка. Их механический смысл.
Поток жидкости через поверхность. Магнитный поток. Поток векторного поля.
Вычисление потока.
Закон Остроградского-Гаусса. Формула Остроградского. Дивергенция.
Катушка индуктивности (соленоид). Соленоидальное векторное поле. Векторная трубка.
Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция.
Вычисление криволинейного интеграла.
Формула Грина.
Формула Стокса. Ротор векторного поля.
Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Безвихревое векторное поле.
Электростатическое и гравитационное поля. Вектор напряжённости и потенциал. Потенциальное векторные поля. Эквипотенциальные поверхности. Работа, потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.
Синтетический обзор изученного материала.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнение движения материальной точки под действием силы тяжести и силы сопротивления. Уравнение радиоактивного распада. Уравнения 1-го порядка. Общее и частное решения.
Поле направлений, интегральные кривые. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
Огибающая семейства решений. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Общее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
Задача о второй космической скорости. Уравнения допускающие понижение порядка.
Гармонические колебания маятника и пружины. Электромагнитные колебания. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части.
Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы. Резонанс.
Задача об устойчивости стержня. Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
Общий случай неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Суперпозиция решений.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Задача о движении материальной точки в пространстве. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, частные и общее решения.
Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Понятие о теории устойчивости Ляпунова.
Траектория дифференциального уравнения в окрестности особой точки.
Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Уравнения математической физики. Уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Лапласа.






Рейтинг@Mail.ru

Ссылки                   Контакты