Элементарная алгебра

Формулы сокращённого умножения

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Свойства степеней и корней

$$a^0=1$$	$$a^1=a$$	$$a^2=a\cdot a$$	$$a^{-1}=\frac1a$$
$$a^n=a\cdot a\cdot\dots\cdot a$$	$$a^{n+m}=a^n\cdot a^m$$	$$a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$$	$$a^{-n}=\frac1{a^n}$$
$$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$$	$$a^{\frac nm}=\sqrt[m]{a^n}=\left(\sqrt[m]a\right)^n$$	$$a^{\frac12}=\sqrt a$$	$$a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$$
$$\left(a\cdot b\right)^n=a^n\cdot b^n$$	$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$	$$\sqrt[m]{a\cdot b}=\sqrt[m]a\cdot\sqrt[m]a$$	$$\sqrt[m]{\frac ab}=\frac{\sqrt[m]a}{\sqrt[m]b}$$

Свойства логарифмов

$$log_a1=0$$	$$log_aa=1$$	$$log_aa^n=n$$
$$a^{log_ab}=b$$	$$lgb=log_{10}b$$	$$lnb=log_eb$$
$$log_a(bc)=log_ab+log_ac$$	$$log_a\left(\frac bc\right)=log_ab-log_ac$$	$$log_ab^n=nlog_ab$$
$$log_{a^m}b=\frac1mlog_ab$$	$$log_{a^m}b^n=\frac nmlog_ab$$	$$log_ba=\frac1{log_ab}$$
$$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$$	$$log_ab=\frac{lgb}{lga}$$	$$log_ab=\frac{lnb}{lna}$$

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессиия — это последовательность чисел, у которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину, называемую разностью прогресии, то есть$$a_2-a_1=d, \quad a_3-a_2=d, \quad \ldots, \quad a_n-a_{n-1}=d,$$или$$a_2=a_1+d, \quad a_3=a_2+d=a_1+2d, \quad \ldots, \quad a_n=a_n+d.$$ Общий $n$–член прогрессии определяется формулой$$a_n=a_1+(n-1)d,$$или$$a_n=a_m+(n-m)d.$$ Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних членов, то есть$$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2.$$ Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии определяется следующими формулами:$$S_n=\frac{a_1+a_n}2n,$$$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2n.$$

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессиия — это последовательность отличных от нуля чисел, у которой каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем геометрической прогрессии, то есть$$b_2=b_1\cdot q, \quad b_3=b_2\cdot q, \quad \ldots, \quad b_n=b_{n-1}\cdot q.$$Тогда$$b_2=b_1q, \quad b_3=b_2q=b_1q^2, \quad b_4=b_3q=b_1q^3, \ldots.$$ Общий $n$–член геометрической прогрессии определяется формулой$$b_n=b_1q^{n-1},$$или$$b_n=b_mq^{n-m}.$$ Каждый член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних членов, то есть$$b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}.$$ Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии определяется формулой:$$S_n=\frac{b_1\left(q^n-1\right)}{q-1}.$$ Если $|q|\lt1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

Комбинаторика

Факториалом целого числа $ n>0 $ называется произведение $1\cdot2\cdot...\cdot n$. Обозначается факториал символом $n!$
Следовательно,$$n!=1\cdot2\cdot...\cdot n.$$При этом $0!=1$. Таким образом$$0!=1,\quad 1!=1,\quad 2!=1\cdot2=2,\quad 3!=1\cdot2\cdot3=6.\quad $$ $$ (n+1)!=n!\cdot(n+1).$$ Факториал равен числу перестановок $n$ объектов или символов. Например, 3 буквы А, Б, В можно переставить 3!=6 способами:$$АБВ, \quad АВБ, \quad БАВ, \quad БВА, \quad ВАБ, \quad ВБА.$$Легко убедится, что других перестановок не существует.

Число сочетаний$$C^k_n=\binom{n}{k}={n!\over{k!\cdot(n-k)!}}$$ Числа сочетаний называют также биноминальными коэффициентами так как они входят в бином Ньютона $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {C^k_n\cdot a^k\cdot b^{n-k}}.$$ Например, $$(a+b)^1=a+b,$$ $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$ $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$ $$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.$$ В частности, при $a=b=1$ получим

$$\sum_{k=0}^n {C^k_n}=2^n,$$

а при $a=-1$ и $b=1$ получим

$$\sum_{k=0}^n{(-1)^k\cdot C^k_n}=0.$$

Действительно, $$ 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n {C^k_n\cdot 1^k\cdot 1^{n-k}}=\sum_{k=0}^n {C^k_n}$$ и $$0=(-1+1)^n=\sum_{k=0}^n {C^k_n\cdot (-1)^k\cdot 1^{n-k}}=\sum_{k=0}^n {C^k_n\cdot (-1)^k\cdot 1}=\sum_{k=0}^n {(-1)^k \cdot C^k_n}.$$