Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.







        12.17. Найти общее решение дифференциального уравнения.

.

Решение.

        Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка с постоянными коэффициентами. Его решение представляется в виде

.

        Здесь     — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

,

        — какое-либо частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

        Решим сначала однородное дифференциальное уравнение

.

        Это дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение

.

        Вынося k за скобки и используя формулу для куба разности, получим

.

        Отсюда находим корни характеристического уравнения   .

        Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка с постоянными коэффициентами запишется в виде

        или

.

        Правая часть исходного уравнения     может быть представлена в виде произведения многочлена первой степени и експоненциальной функции

.

        Здесь     — многочлен первой степени относительно икса;     — является однократным корнем характеристического уравнения.

        Следовательно, частное решение может быть найдено в виде     , где     — произвольный многочлен первой степени.

        Таким образом, частное решение имеет вид

.

        Найдём выражения первых четырёх производных для этого частного решения

.

        Подставим найденные выражения в исходное, неоднородное дифференциальное уравнение. Получим     или   .

        Приводя подобные и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему линейных алгебраических уравнений

.

        Решаем эту систему и находим

.

        Тогда частное решение запишется    .

        Общее решение запишется

.

        Ответ: Общее решение дифференциального уравнения

.