Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

Решение

---

        7.30. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

x·y²·dx + y·(x² + y²)·dy = 0.

Решение.

        Запишем исходное дифференциальное уравнение в виде:

P(x; y)·dx + Q(x; y)·dy = 0.

        Здесь:

P(x; y) = x·y²;

Q(x; y) = y·(x² + y²).

        Найдём частные производные.

∂P/∂y = 2·x·y;

∂Q/∂x = 2·x·y.

        Заметим, что

∂P/∂y = 2·x·y = ∂Q/∂x.

        Следовательно, исходное уравнение есть дифференциальное уравнение в полных дифференциалах du = 0.

        Общее решение дифференциального уравнения   u(x, y) = C, где

u(x, y) = _x0∫ ^xP(x, y₀)dx + _y0∫ ^yQ(x, y)dy.

        Подставим P(x, y) и Q(x, y) в последнее выражение. Получим:

u(x, y) = _x0∫ ^xx·y₀²dx + _y0∫ ^y y·(x² + y²)dy =

= 0,5·(x·y₀)² − 0,5·(x₀·y₀)² + 0,5·(x·y)² − 0,5·(x·y₀)² + 0,25·y⁴ − 0,25·(y₀)⁴ =

= 0,5·(x·y)² + 0,25·y⁴ + C₁.

        Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения запишется в виде:

0,5·(x·y)² + 0,25·y⁴ + C₁ = C.

        Запишем общий интеграл в виде:

y²·(2·x² + y²) = C.

        Ответ: Общий интеграл дифференциального уравнения:

y²·(2·x² + y²) = C.

---