Задача 2. Коллинеарны ли векторы с₁ и с₂, построеные по векторам a и b?

        Введите номер своего варианта от 1 до 31 или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        Задача 2.31. Коллинеарны ли векторы: c₁ и c₂, построенные на векторах a и b?$$\mathbf a=\{-1,2,8\}, \; \mathbf b=\{3,7,-1\}, \; \mathbf c_1=4\mathbf a-3\mathbf b, \; \mathbf c_2 =9\mathbf b-12\mathbf a. $$

Решение.

        Найдём координаты векторов   c₁ и c₂  , используя правила сложения векторов и умножения вектора на число. $$\mathbf c_1=\{4\cdot(-3)-3\cdot3, \;4\cdot2-3\cdot7, \; 4\cdot8-3\cdot(-1)\}=\{-13,-13,35\}, $$ $$\mathbf c_2=\{9\cdot 3-12\cdot(-1), \; 9\cdot 7-12\cdot 2, \; 9\cdot(-1)-12\cdot 8)\}=\{39,39,-105\}. $$

        Векторы коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю. То есть равенство нулю векторного произведения является условием коллинеарности ненулевых векторов. Поэтому для того, чтобы выяснить коллинеарны ли векторы или нет, требуется найти их векторное произведение. Если векторное произведение окажется равным нулю, тогда соответствующие векторы коллинеарны. Если векторное произведение векторов  c₁ и c₂   не равно нулю, то векторы не коллинеарны. Ищем векторное произведение, используя определитель. Векторное произведение равно $$ [\mathbf c_1, \mathbf c_2]=\begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\-13 & -13 & 35 \\39 & 39 & -105 \\ \end{vmatrix}= \mathbf i\cdot \begin{vmatrix} -13 & 35 \\ 39 & -105 \\ \end{vmatrix}-\mathbf j\cdot \begin{vmatrix} -13 & 35 \\ 39 & -105 \\ \end{vmatrix}+\mathbf k\cdot \begin{vmatrix} -13 & -13 \\ 39 & 39 \\ \end{vmatrix} =0\cdot \mathbf i-0\cdot \mathbf j+0\cdot \mathbf k=0, $$

    так как вторая и третья строки пропорциональны. Следовательно, векторы   c₁ и c₂ коллинеарны.

        Ответ: Векторы c₁ и c₂ коллинеарны.

        Если ваши точки не соответствуют ни одному из 31 вариантов, введите свои координаты в окошки ниже.
        Если в ваших выражениях векторов стоят минусы, то в окошках ставьте отрицательные числа. Не перепутайте коэффициенты перед векторами a и b.

        Задача. Коллинеарны ли векторы c₁ и c₂, построенные на векторах a и b?