Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках A₁, A₂, A₃, A₄ и его высоту, опущенную из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        Задача 6. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках     и его высоту, опущенную из вершины     на грань  

Решение.

        Объём пирамиды равен одной шестой части объёма параллелепипеда, построенного на векторах    Объём параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов. Таким образом, объём пирамиды равен

        Векторы:

        Смешанное произведение равно

        Поэтому объём пирамиды равен   С другой стороны, объём пирамиды равен   где     — высота, опущенная из вершины     на грань    ,     — площадь грани    , которая равна:

        Векторное произведение равно

        Поэтому площадь грани   Следовательно, высота пирамиды равна

        Ответ: Объём пирамиды равен   ;   высота пирамиды равна