Пределы

Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

7.10. Доказать (найти $\delta(\varepsilon)$), что:$$\lim_{x\to-1}\frac{7x^2+8x+1}{x+1}=-6.$$

Решение

В данной задаче необходимо показать, что существует предел функции и он равен $-6.$ Возьмём произвольное $\varepsilon\gt0.$ Решим неравенство$$\left|\frac{7x^2+8x+1}{x+1}+6\right|\lt\varepsilon.$$ Из последнего неравенства получаем$$\left|\frac{7x^2+7x+x+1}{x+1}+6\right|=|7x+1+6|=7|x+1|\lt\varepsilon,$$или $|x+1|\gt\varepsilon/7.$

Отсюда $\delta(\varepsilon)=\varepsilon/7.$ Следовательно, при $x\to-1$ функция имеет предел, раный $-6.$ Что и требовалось доказать.

Мы доказали, что предел функции в точке существует и равен данному значению.