Задача 8. Доказать, что функция f(x) непрерывна в точке x0 (найти δ(ε) ).
Введите номер своего варианта от 1 до 31 или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
О Б Р А З Е Ц
Доказать, что функция f(x) = 16·x2 + 100 непрерывна в точке x0 = 0 (найти δ(ε)):
Р Е Ш Е Н И Е
Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке, возьмём произвольное ε>0. Подберём δ(ε)>0 так, чтобы выполнялось неравенство
ǀ f(x) − f(x0 ǀ < ε
для всех x, для которых выполняется неравенство ǀ x − x0 ǀ < δ.
В нашем случае
f(x0) = f( 0 ) = 16·02 + 100 = 100.
Чтобы доказать непрерывность функции f(x)= 16·x2 + 100 в точке x0 = 0 , подберём δ так, чтобы выполнялось неравенcтво
ǀ 16· x2 + 100 − 100 ǀ < ε
или неравенство
16·x2 < ε
при всех x из интервала ǀ x ǀ < δ.
Перепишем неравенство в виде
ǀ x ǀ < √ε/4.
Ответ: Мы доказали, что функция f(x) = 16·x2+100 непрерывна в точке x0 = 0 и нашли δ(ε) = √ε/4.
Если ваша функция f(x) или точка x0 не соответствует ни одному из 31 вариантов, вы можете ввести свои данные ниже.