Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность пространства решений системы.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.







        3.31. Найти какой-нибудь базис и определить размерность пространства решений системы.

Решение.

       

        Найдём ранг матрицы системы. Матрица системы имеет вид

.

        Первый столбец умножим на три и прибавим к четвёртому столбцу. Первый столбец умножим на три и прибавим ко второму столбцу. Первый столбец умножим на (-4) и прибавим к третьему столбцу. Получим матрицу

.

        Четвёртый столбец умножим на (-1) и прибавим к пятому столбцу. Второй столбец умножим на 0,5, а третий столбец умножим на 1/3. Получим матрицу

.

        Второй столбец прибавим к третьему столбцу. Второй столбец вычтем из четвёртого столбца. Второй столбец вычтем из первого столбца. Получим матрицу

.

        Третью строку прибавим ко второй. Первую строку умножим на (-2) и прибавим ко второй строке. Получим матрицу

.

        Вычеркнем нулевую строку и нулевые столбцы матрицы. Получим

.

        Следовательно, ранг матрицы равен    . Тогда исходная система имеет     линейно независимых решений.
        Выберем, в качестве базисных, две первые строки и два первых столбца системы. Оставим два первых уравнения.

.

        Тогда переменные     будут базисными, а остальные параметрическими. Оставим базисные переменные слева, а остальные перенесём вправо. Получим систему

.

        Сложим оба уравнения. Из второго уравнения вычтем первое. Получим систему

        или разделив на два

.

        Составим фундаментальную систему решений.

        Таким образом, имеем три базисных решения

.

        Следовательно, общее решение системы уравнений

.