Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
8.31. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость.
Решение.
Нормальный вектор плоскости . Произвольная точка пространства переходит в точку плоскости При этом вектор является направляющим вектором прямой . Поэтому, канонические уравнения прямой будут:
Отсюда
Точка принадлежит плоскости и прямой , то есть лежит на пересечении плоскости и прямой. Следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению плоскости и уравнениям прямой
Выразим координату из первого уравнения, подставим в третье уравнение и выразим из него . Получим
Отсюда
Подставим в первое уравнение, получим координаты проекции
Таким образом, точка переходит в точку
Следовательно, проектирование на плоскость выполняется преобразованием
Проверим линейность данного преобразования. Рассмотрим вектор , и подействуем на него полученным преобразованием . Получим
Рассмотрим сумму двух векторов , и подействуем на него преобразованием . Получим
Оба условия линейности преобразования выполняются. Следовательно, преобразование проектирования есть линейное преобразование.
Отыщем матрицу преобразования. Для этого найдём образы координатных векторов:, , .
Матрица линейного преобразования это матрица, столбцы которой — координатные столбцы образов базисных векторов . Поэтому
Область значений оператора
— это множество всех образов этого оператора, то есть плоскость .
Ядро линейного оператора — это подпространство векторов, отображающихся в нулевой вектор.
Распишем последнее равенство по координатам
или
Отсюда, выражая из первого и третьего уравнения системы, получим
Запишем систему в виде канонических уравнений прямой
Это уравнения прямой, проходящей через начало
координат и перпендикулярной к исходной плоскости .