Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        8.31. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость.

Решение.

        Нормальный вектор плоскости . Произвольная точка пространства переходит в точку плоскости При этом вектор является направляющим вектором прямой . Поэтому, канонические уравнения прямой будут:

.

        Отсюда

        Точка принадлежит плоскости и прямой , то есть лежит на пересечении плоскости и прямой. Следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению плоскости и уравнениям прямой

        Выразим координату из первого уравнения, подставим в третье уравнение и выразим из него . Получим

        Отсюда

        Подставим в первое уравнение, получим координаты проекции

        Таким образом, точка переходит в точку

        Следовательно, проектирование на плоскость выполняется преобразованием

.

        Проверим линейность данного преобразования. Рассмотрим вектор , и подействуем на него полученным преобразованием . Получим

        Рассмотрим сумму двух векторов _, и подействуем на него преобразованием . Получим

        Оба условия линейности преобразования выполняются. Следовательно, преобразование проектирования есть линейное преобразование.

        Отыщем матрицу преобразования. Для этого найдём образы координатных векторов:_{, ,} .

        Матрица линейного преобразования это матрица, столбцы которой — координатные столбцы образов базисных векторов . Поэтому

        Область значений оператора — это множество всех образов этого оператора, то есть плоскость .
        Ядро линейного оператора — это подпространство векторов, отображающихся в нулевой вектор.

.

        Распишем последнее равенство по координатам

        или

        Отсюда, выражая из первого и третьего уравнения системы, получим

        Запишем систему в виде канонических уравнений прямой

        Это уравнения прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной к исходной плоскости .