Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
3.12. Исследовать на сходимость ряд. $$\sum_{n=1}^\infty {{n cos^2n}\over{n^3+5}}.$$
Решение.
Сравним исходный числовой ряд с рядом $$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}.$$ Это сходящийся ряд Дирихле.
Так как \(cos^2n\le1\), то справедливы следующие неравенства $${{n cos^2n}\over{n^3+5}}\le {n\over{n^3+5}}\lt{n\over{n^3}}=\frac1{n^2}.$$ По признаку сравнения исходный числовой ряд тоже сходится.
Ряд Дирихле сходится, значит, сходится и исследуемый ряд.