Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

Решение

---

        Исследование сходимости ряда в данном задании основано на признаке Д’Аламбера (не путать с Д’Артаньяном).

        Признак Д’Аламбера. Если в ряде с положительными членами

        отношение n+1 –го члена к n – му при   n → ∞ имеет конечный предел q, то есть

,

        то: ряд сходится, в случае если q < 1 и ряд расходится, в случае если q > 1.

        Примечание: Если q = 1, то ответа на вопрос о сходимости ряда или расходимости ряда теорема не даёт. В этом случае сходимость ряда не определяется при помощи признака Д'Аламбера.

        5.12. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение.

        Общий член ряда

.

        Чтобы исследовать сходимость ряда при помощи признака Д'Аламбера нам понадобится последующий член ряда, который получается заменой n на n+1. То есть

.

        Вычислим предел

.

        Так как q = 0 < 1, то по признаку Д’Аламбера ряд сходится.

        Ответ: Ряд сходится.

---