1. Пределы


2. Дифференцирование


3. Графики


4. Интегралы


5. Дифференциальные уравнения


6. Ряды


7. Кратные интегралы


8. Векторный анализ


9. Аналитическая геометрия


10. Линейная алгебра


11. Уравнения математической физики

Решебник Кузнецова. Раздела XI
Уравнения математической физики.

Задание 9. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

        Вы можете посмотреть любой вариант или скачать все варианты здесь.

    Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6

    Вариант 7   Вариант 8   Вариант 9   Вариант 10   Вариант 11   Вариант 12

  Вариант 13   Вариант 14   Вариант 15   Вариант 16   Вариант 17   Вариант 18

  Вариант 19   Вариант 20   Вариант 21   Вариант 22   Вариант 23   Вариант 24

  Вариант 25   Вариант 26   Вариант 27   Вариант 28   Вариант 29   Вариант 30

    Вариант 31

---

        9.1 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 1 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.2 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 2 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.3 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 3 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.4 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 4 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.5 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 5 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.6 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 6 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.7 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 7 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.8 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 8 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.9 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 9 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.10 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 10 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.11 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 11 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.12 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 12 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.13 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 13 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.14 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 14 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.15 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 15 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.16 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 16 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.17 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 3 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.18 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 18 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.19 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 19 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.20 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 20 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.21 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 21 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.22 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 22 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.23 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 23 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.24 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 24 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.25 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 25 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.26 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 26 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.27 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 27 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.28 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 28 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.29 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 29 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.30 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 30 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---

        9.31 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа         в круге         (         - полярные координаты), на границе которого искомая функция         имеет следующие значения:

.

Решение.

        Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:

Здесь:         - коэффициенты, определяемые по граничным условиям.

        Обозначим         .

        При         ,



        То есть, разложение функции         в ряд Фурье отличается от разложения функции         множителями         .

        Поэтому, чтобы получить решение искомой задачи, необходимо дописать множители         при соответствующих членах разложения функции         .

        В варианте 31 граничное условие имеет вид
.
        Поэтому решение задачи Дирихле будет
.

        Ответ:
.

---