Задача 9. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа \(\Delta u=0\) в круге.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
9.17. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа \(\Delta u=0\) в круге \(0\le r\lt1, \; 0\le\varphi\lt2\pi\) (\(r, \varphi\) — полярные координаты), на границе которого искомая функция \(u(r, \varphi)\) имеет следующие значения: \(u(1,\varphi)=17cos9\varphi.\)
Решение.
Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде:$$u(r,\varphi)=A_0+\sum_{n=1}^\infty r^n(A_ncos(n\varphi)+B_nsin(n\varphi)).$$Здесь: \(A_n, B_n\) — коэффициенты, определяемые по граничным условиям.
Подставим общее решение в заданное граничное условие при \(r=1\). Получим$$u(1,\varphi)=A_0+\sum_{n=1}^\infty (A_ncos(n\varphi)+B_nsin(n\varphi))=17cos9\varphi.$$ Отсюда получаем значения коэффициентов \(A_9=17, \; A_{n\neq9}=0, \; B_n=0\).
Поэтому решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа принимает вид \( u(r,\varphi)=17r^9cos9\varphi.\)
Ответ: Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа \( u(r,\varphi)=17r^9cos9\varphi\).