Ряды

Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

13.14. Найти сумму ряда $$\sum_{n=1}^\infty nx^{5n}.$$

Решение.

Чтобы найти сумму ряда сделаем замену $t=x^5$ и препишем исходный функциональный ряд в виде $$\sum_{n=1}^\infty nx^{5n}=\sum_{n=1}^\infty nt^n=t\sum_{n=1}^\infty nt^{n-1}.$$ Любой уважающий себя первокурсник, а тем более старшекурсник, помнит формулу производной степенной функции: $\left(t^n \right)'=nt^{n-1}$, с учётом которой последняя сумма ряда может быть переписана в виде$$t\sum_{n=1}^\infty nt^{n-1}=t\sum_{n=1}^\infty \left(t^n\right)'.$$ С учётом сказанного сумма функционального ряда запишется в виде$$\sum_{n=1}^\infty nx^{5n}=t\sum_{n=1}^\infty nt^{n-1}=t\sum_{n=1}^\infty \left(t^n\right)'.$$ Знающий и умный первокурсник или старшекурсник безусловно помнит формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогресии$$\sum_{n=1}^\infty q^n=b_1+b_1q+b_1q^2+\cdots+b_1q^n+\cdots=\frac{b_1}{1-q},$$которая справедлива при $|q|\lt1$. Приняв $b_1=t$ и $q=t$ получим$$\sum_{n=1}^\infty t^n=t+t^2+t^3+\cdots+t^n+\cdots=\frac t{1-t}.$$ Теореме о дифференцировании сходящихся рядов гласит, что сходящийся ряд можно почленно дифференцировать. При этом полученный ряд, состоящий из производных исходного ряда, также сходится и его сумма равна производной от суммы исходного дифференцируемого ряда, то есть $$\sum_{n=1}^\infty \left(a_n(t)\right)'=\left(\sum_{n=1}^\infty a_n(t)\right)'.$$ Применяя это дифференциальное соотношение к рассмотренной ранее сумме бесконечно убывающей геометрической прогресии и памятуя формулу производной степенной функции получим $$\sum_{n=1}^\infty \left(t^n\right)'=\left(\sum_{n=1}^\infty t^n\right)'=\left(t+t^2+t^3+\cdots+t^n+\cdots\right)'=\left(\frac t{1-t}\right)'=$$$$={{t'(1-t)-t(1-t)'}\over{(1-t)^2}}={{(1-t)-t(-1)}\over{(1-t)^2}}={{1-t+t}\over{(1-t)^2}}=\frac1{(1-t)^2}.$$ Оглядываясь назад, с самого начала решения данной задачи и до данного места, и соединяя мысленнов все суммы, с учётом выражения $t=x^5$ можем записать, что сумма ряда равна $$\sum_{n=1}^\infty nx^{5n}=t\sum_{n=1}^\infty \left(t^n\right)'=\frac{t}{(1-t)^2}=\frac{x^5}{(1-x^5)^2}.$$ Все эти рассуждения и записи формул справедливы в области сходимости ряда, то есть тогда, когда $|x^5|=|t|\lt|q|\lt1$ или при $x\in(-1; 1)$.

Ответ: При $x\in(-1; 1)$ сумма ряда$$\sum_{n=1}^\infty nx^{5n}=\frac{x^5}{(1-x^5)^2}.$$