Задача 9. Найти область сходимости ряда.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

Решение

---

        9.2. Найти область сходимости ряда. $$\sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n+1}}\over{n^{ln(1+x)}}}.$$

Решение.

        Чтобы найти область сходимости функционального ряда исследуем сначала ряд, составленный из модулей $$\sum_{n=1}^\infty {{1}\over{n^{ln(1+x)}}}.$$        Это ряд Дирихле $$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^p},$$ у которого \(p=ln(1+x)\). Ряд Дирихле сходится при \(p\gt1\) и расходится при \(p\le1\). Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится тогда, когда \(ln(1+x)\gt1\), или когда \(1+x\gt e\), то есть при \(x\in(e-1; \infty)\).
        Знакочередующийся ряд Дирихле $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^p}=1-\frac1{2^p}+\frac1{3^p}-\frac1{4^p}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n^p}\cdots$$при \(p\gt0\) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, так как $$\lim_{n \to \infty} \frac1{n^p} = 0 \qquad и \qquad 1\gt\frac1{2^p}\gt\frac1{3^p}\gt\frac1{4^p}\gt\cdots\gt\frac1{n^p}\gt\cdots\gt0.$$        Следовательно, исходный ряд сходится условно, когда \(0\lt ln(1+x)\le1\), или когда \(0\lt x\le e-1\).

        Таким образом, область сходимости ряда \(x\in(1; \infty)\), при \(x\in(1; e-1]\) ряд сходится условно, при \(x\in(e-1; \infty)\) ряд абсолютно сходится.

        Ответ: Область сходимости \(x\in(1; \infty)\).