Логические операции над высказываниями

        Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

        Примеры высказываний.
        1) Москва стоит на Неве.
        2) Лондон — столица Англии.
        3) Сокол не рыба.
        4) Число 6 делится на 2 и на 3.

        Высказывания 2), 3), 4) истинны, а высказывание 1) ложно.
        Очевидно, предложение «Да здравствует Россия!» не является высказыванием.
        Различают два вида высказываний.
        Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).
        Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если .... то ...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.
        Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Сокол - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и».
        Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».
        В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
        Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.
        Если высказывание а истинно, то будем писать а = 1, а если а ложно, то а = 0.


Логические операции над высказываниями

Отрицание.

        Отрицанием высказывания х называется новое высказывание x, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.
        Отрицание высказывания х обозначается x читается «не х» или «неверно, что х».
        Логические значения высказывания x можно описать с помощью таблицы.

        Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.
        Пусть х высказывание. Так как x также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания x, то есть высказывание    , которое называется двойным отрицанием высказывания х. Ясно, что логические значения высказываний х и     совпадают.
        Например, для высказывания «Путин президент России» отрицанием будет высказывание «Путин не президент России», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что Путин не президент России».

Конъюнкция.

        Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х и у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
        Конъюнкция высказываний х и у обозначается символом х&у (x∧y, ху), читается «х и у». Высказывания х и у называются членами конъюнкции.
        Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

        Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.
        Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Дизъюнкция

        Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом «x V у» , читается «х или у» . Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.
        Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

        В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Импликация.

        Импликацией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.
        Импликация высказываний х, у обозначается символом x→y, читается «если х, то у» или «из х следует у». Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание у - следствием или заключением, высказывание x→y следованием или импликацией.
        Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

        Употребление слов «если .... то ...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х, то у» в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х . Употребление слов «если ..., то ...» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
        Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «Если х, то у». Если при этом известно, что х истинно и доказана истинность импликации x→y, то мы вправе сделать вывод об истинности заключения у.

Эквивалентность.

        Эквивалентностью двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
        Эквивалентность высказываний х, у обозначается символом x↔y, читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквивалентности.
        Логические значения операции эквивалентности описываются следующей таблицей истинности:

        Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы зак­лючаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

Посмотрите статьи по математике

Математика заочникам: нужна ли она.