Интеграл. Интегрирование

Определение. Функция $F(x)$ называется первообразной от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, если во всех точках этого отрезка выполняется равенство $F'(x)=f(x)$.

Очевидно, если $F(x)$ первообразная от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, то для любого постоянного числа $C$ функция $F(x)+C$ тоже является первообразной для данной функции.

Теорема. Если $F_1(x)$ и $F_2(x)$ — две первообразные от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, то их разность равна постоянному числу.

Из вышесказанного следует, что если для данной функции $f(x)$ найдена какая-нибудь первообразная $F(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ имеет вид $F(x)+C$.

Определение. Если функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то выражение $F(x)+C$ называется неопределённым интегралом от функции $f(x)$ и обозначается символом$$\int f(x)dx.$$ Таким образом,$$\int f(x)dx=F(x)+C,$$если $F'(x)=f(x).$

Выражение $f(x)dx$ называется подынтегральным выражением, функция $f(x)$ — подынтегральной функцией, а переменная $x$ — переменной интегрирования.

Можно сказать, что неопределённый интеграл представляет собой совокупность всех первообразных данной функции.

Нахождение неопределённого интеграла (первообразной) для данной функции $f(x)$ называется интегрированием данной функции.

Определение. Если функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, то число равное разности $F(b)-F(a)$ называется определённым интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ и обозначается$$\int^b_a f(x)dx.$$ Концы отрезка $[a, b]$ называются, соответственно, нижним и верхним пределом интегрирования.

Таким образом, по определению$$\int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a).$$ Последняя формула носит название формулы Ньютона-Лейбница. Заметим, что значение определённого интеграла не зависит от выбора первообразной.

Таблица неопределённых интегралов

Свойства неопределённого интеграла

Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть, если $F'(x)=f(x)$, то$$\left(\int f(x)dx\right)'=(F(x)+C)'=f(x).$$ Свойство 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению$$d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx.$$ Свойство 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы$$\int df(x)=f(x)+C.$$ Свойство 4. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов$$\int\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.$$ Свойство 5. Неопределённый интеграл от разности функций равен соответствующей разности неопределённых интегралов$$\int\left(f(x)-g(x)\right)dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx.$$ Свойство 6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx.$$ Свойство 7. Если$$\int f(x)dx=F(x)+C,$$то$$\int f(ax+b)dx=\frac 1a F(ax+b)+C.$$ Свойство 8. Формула интегрирования по частям$$\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x).$$ Альтернативным формуле интегрирования по частям является метод интегрирования дифференцироавнием.

Свойства определённого интеграла

Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То есть$$\left(\int^t_a kf(x)dx\right)'=f(t).$$ Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме определённых интегралов$$\int^b_a\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int^b_a f(x)dx+\int^b_a g(x)dx.$$ Свойство 3. Определённый интеграл от разности функций равен разности определённых интегралов$$\int^b_a\left(f(x)-g(x)\right)dx=\int^b_a f(x)-\int^b_a g(x).$$ Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла$$\int^b_a kf(x)dx=k\int^b_a f(x)dx.$$ Свойство 5. Формула интегрирования по частям.$$\int^b_a u(x)dv(x)=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int^b_a v(x)du(x).$$ Свойство 6.Если на отрезке $[a, b]$, где $a\lt b$, функции $f(x)$ и $g(x)$ удовлетворяют условию $f(x)\le g(x)$, то$$\int^b_a f(x)dx\le\int^b_a g(x)dx.$$ Свойство 7. Если $m$ и $M$ — наименьшее и наибольшее значения функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ и $a\le b$, то$$m(b-a)\le\int^b_a f(x)dx\le M(b-a).$$ Свойство 8.Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак$$\int^a_b f(x)dx=-\int^b_a f(x)dx.$$ Свойство 9. Для любых трёх чисел $a, b, c$ справедливо равенство$$\int^b_a f(x)dx=\int^c_a f(x)dx+\int^b_c f(x)dx,$$если только все три интеграла существуют.
Свойство 10 (Теорема о среднем). Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке$[a, b]$, то на этом отрезке найдётся такая точка $c$, что справедливо равенство:$$\int^a_b f(x)dx=(b-a)\cdot f(c).$$

Геометрические приложения определённого интеграла

Если на отрезке $[a, b]$ функция $f(x)\ge0$, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a, \quad x=b$ (рис. 1), равна $$S=\int^a_b f(x)dx.$$ Если $f(x)\le0$ на отрезке $[a, b]$, то площадь соответствующей криволинейной трапеции$$S=-\int^a_b f(x)dx.$$

Рисунок 1.

В общем случае, когда функция $f(x)$ меняет знак на отрезке $[a, b]$ (рис. 2), площадь, ограниченная кривой $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a, \; x=b$ может быть найдена как сумма площадей фигур, лежащих выше и ниже оси $Ox$. Иначе$$S=\int^b_a|f(x)|dx.$$

Рисунок 2.

Длина дуги кривой $y=f(x)$, ограниченной точками с абсциссами $x=a, \; x=b$, вычисляется по формуле$$L=\int^b_a \sqrt {1+(f(x))^2}dx.$$ Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной кривой $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a, \; x=b$. Объём тела вращения$$V=\pi\int^b_a (f(x))^2dx.$$ Пусть кривая задана уравнениями в параметрической форме$x=\varphi(t), \; y=\psi(t)$,где $\alpha\le t\le\beta$ и $\varphi(\alpha)=a, \; \varphi(\beta)=b$. Площадь криволинейной трапеции в этом случае равна$$S=\int^{\alpha}_{\beta}\psi(t)\varphi'(t)dt.$$а длина дуги$$L=\int^{\alpha}_{\beta} \sqrt{(\psi(t))^2+(\varphi(t))^2}dt.$$ Пусть кривая задана уравнением в полярной системе координат$$\rho=\rho(\theta),$$где $\rho(\theta)$ — непрерывная функция, определённая при $\alpha\le \theta\le\beta$ (рис. 3). Площадь сектора, ограниченного заданной кривой и лучами $\theta=\alpha, \; \theta=\beta$, равна $$S=\frac12\int^{\alpha}_{\beta} \rho^2(\theta)d\theta.$$

Рисунок 3.

Длина дуги кривой, определённой в полярной системе координат уравнением $\rho=\rho(\theta),$ вычисляется по формуле$$L=\int^{\alpha}_{\beta} \sqrt{(\rho'(\theta))^2+(\rho(\theta))^2}d\theta.$$

Таблица неопределённых интегралов

$$\int1dx=x+C$$	$$\int e^x=e^x+C$$
$$\int kdx=kx+C$$	$$\int a^x=\frac{a^x}{ln a}+C$$
$$\int xdx=\frac{x^2}2+C$$	$$\int cos(x)=sin(x)+C$$
$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \quad при \, n\neq-1$$	$$\int sin(x)=-cos(x)+C$$
$$\int \frac {dx}{x^n}=\frac1{(1-n)x^{n-1}}+C, \quad при \, n\neq1$$	$$\int tg(x)=-ln\|cos(x)\|+C$$
$$\int \sqrt[n] x dx=\frac{nx\sqrt[n]{x}}{n+1}+C$$	$$\int ctg(x)=ln\|sin(x)\|+C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt[n] x}=\frac{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}{n-1}+C$$	$$\int \frac{dx}{cos^2(x)}=tg(x)+C$$
$$\int \frac{dx}x=ln\|x\|+C$$	$$\int \frac{dx}{sin^2(x)}=-ctg(x)+C$$
$$\int \frac{dx}{x-a}=ln\|x-a\|+C$$	$$\int ch(x)dx=sh(x)+C$$
$$\int \frac{dx}{x+a}=ln\|x+a\|+C$$	$$\int sh(x)dx=ch(x)+C$$
$$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac1{2a}ln\left\|\frac{a+x}{a-x}\right\|+C$$	$$\int \frac{dx}{ch^2(x)}=th(x)+C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln\left\|x+\sqrt{x^2-a^2}\right\|+C$$	$$\int \frac{dx}{sh^2(x)}=cth(x)+C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln\left\|x+\sqrt{x^2+a^2}\right\|+C$$	$$\int \frac{dx}{1+x^2}=arctg(x)+C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsin(x)+C$$	$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac1a arctg\left(\frac xa\right)+C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\left(\frac xa\right)+C$$	$$\int ln(x)dx=xln(x)-x+C$$