ПРОИЗВОДНАЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

        Непрерывность функции

        Определение. Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_0\), если она имеет предел в этой точке и$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$        Теорема. Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) непрерывны в точке \(x_0\), то их сумма \(f(x)+g(x)\), разность \(f(x)-g(x)\) и произведение \(f(x)\cdot g(x)\) также непрерывны в данной точке. Если \(g(x_0)\neq0\), то и частное двух непрерывных функций \(f(x)/g(x)\) есть непрерывная функция.
        Определение. Функция и \(f(x)\) называется непрерывной на отрезке \([a, b]\), если она непрерывна во всех точках этого отрезка. Функция \(f(x)\) называется непрерывной на интервале \((a, b)\), если она непрерывна во всех точках этого интервала.
        Определение. Точка \(x_0\) называется точкой разрыва функции \(f(x)\), если эта функция не является непрерывной в точке \(x_0\).

        Классификация точек разрыва

        Существует три типа точек разрыва функций.
        Определение. Точка \(x_0\) называется точкой устранимого разрыва функции \(f(x)\), если данная функция не является непрерывной в точке \(x_0\) и если существует предел$$\lim_{x\to x_0}f(x).$$        Возможно, что функция определена в точке устранимого разрыва \(x_0\), тогда$$\lim_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)$$         Функция может быть неопределённой в точке \(x_0\).
        Пример. Функция $$f(x)=\frac{sinx}x$$имеет устранимый разрыв в точке \(x_0=0\).
        Можно так доопределить функцию в точке устранимого разрыва, что она станет непрерывной. Например, следующая функция является непрерывной в точке \(x_0=0\): $$\hat f(x)=\begin{cases}\frac{sin x}x,\; при \; x\in(-\infty; 0)\cup(0; +\infty);\\0, \; при \; x=0.\end{cases}$$         Определение. Точка \(x_0\) называется точкой конечного разрыва (точкой разрыва I –го рода) функции \(f(x)\), если существуют пределы функции слева и справа от точки \(x_0\), не равные друг другу. То есть, если$$\lim_{x\to x_0-0}f(x)\neq \lim_{x\to x_0+0}f(x)$$         Пример. Функция$$f(x)=\frac{|x|}x$$имеет конечный разрыв в точке \(x_0=0\).
        Определение. Точка \(x_0\) называется точкой разрыва II – го рода (точкой бесконечного разрыва) функции \(f(x)\), если не существует, по крайней мере, одного из односторонних пределов функции в точке \(x_0\) или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
        Пример. Функция $$f(x)=\frac1x$$ имеет в точке \(x_0=0\) разрыв второго рода.
        Разрывы первого и второго рода устранить нельзя.

        Производная функции. Дифференцируемость

        При изменении аргумента на величину приращения \(\Delta x\), функция изменяется на величину приращения$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).$$
        Определение. Функция \(y=f(x)\) называется дифференцируемой в точке \(x\), если её приращение \(\Delta y\) в этой точке можно представить в виде $$\Delta y = A\cdot\Delta x+o(\Delta x),$$ где \(A\) — величина, не зависящая от \(\Delta x\), а \(o(\Delta x)\) — бесконечно малая функция более высокого порядка, чем \(\Delta x\) (при \(\Delta x\to0\)).
        Величина \(A\) есть производная функции \(y=f(x)\) в точке \(x\) и обозначается \(y'=f'(x)\).
        Произведение \(A\cdot\Delta x\) называется главной линейной частью приращения функции \(y=f(x)\) или дифференциалом и обозначается \(dy = df(x)\).
        Таким образом, по определению, \(dy=y'dx\). Из последнего равенства получаем выражение для производной$$y'=\frac{dy}{dx}.$$
      Существует другое определение дифференцируемости функции и производной.
        Определение. Если в точке \(x\) существует предел$$\lim_{\Delta\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$тогда функция \(f(x)\) называется дифференцируемой в точке \(x\), этот предел называется производной функции \(f(x)\) в точке \(x\).
        Другими словами, производной функции \(y = f(x)\) в точке \(x\), называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.
        Теорема. Приведённые определения эквивалентны.
        Теорема. Если функция \(y = f(x)\) дифференцируема в точке \(x\), то она и непрерывна в этой точке.
        Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема. Возможно, что её производная \(y'=f'(x)\), называемая первой производной или производной первого порядка, снова является дифференцируемой функцией. Тогда производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка. Вторая производная имеет следующие обозначения:$$y''=f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\left(f'(x)\right)'.$$         Аналогично определяются производные третьего и последующих порядков:$$y'''=f'''(x)=\frac{d^3y}{dx^3}=\left(f''(x)\right)',$$$$y^{IV}=f^{(4)}(x)=\frac{d^4y}{dx^4}=\left(f'''(x)\right)',$$$$\cdots\cdots\cdots$$$$y^{(n)}=f^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n}=\left(f^{n-1}(x)\right)'.$$

        Геометрический и механический смысл производной

        Если кривая задана уравнением \(y=f(x)\) и функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x\), то производная функции равна тангенсу угла, образованного касательной к кривой и осью \(Ox\), то есть \(f'(x)=tg(\alpha)\). Это позволяет записать уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\), проведённой в точке \(x_0\):$$y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0).$$         Уравнение нормали$$y=f(x_0)-\frac1{f'(x_0)}\cdot(x-x_0).$$         Пусть материальная точка движется вдоль прямой, и её перемещение \(S\) зависит от времени \(t\) по закону, выражаемому уравнением \(S=f(t)\). Тогда мгновенная скорость в момент времени \(t\) равна производной функции \(v=f'(t)\).

        Правила дифференцирования

       1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: \((Cf(x))'=C\cdot f'(x).\)

        2. Производная суммы функций равна сумме их производных: \((f(x)+g(x))'=f'(x)+V'(x).\)

        3. Производная разности функций равна разности их производных: \((f(x)-g(x))'=f'(x)-V'(x).\)

        4. Производная произведения двух функций:$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).$$        5. Производная частного двух функций:$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}.$$        6. Производная сложно показательной функции:$$\left(f(x)^{g(x)}\right)'=f(x)^{g(x)}\cdot\left(\frac{g(x)}{f(x)}\cdot f'(x)+g'(x)\cdot ln(f(x))\right).$$        7. Производная сложной функции:$$\left(g(x)\right)'=f'_g(g)\cdot g'(x).$$         8. Если функции \(y=f(x)\) и \(x=g(y)\) — взаимно обратные функции, то$$\left(f(x)\right)'=\frac1{\left(g(y)\right)'}.$$        9. Если функция задана параметрически$$\begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t),\end{cases}$$то её производная равна$$y'(x)=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.$$

        Таблица производных