ПРОИЗВОДНЫЕ

Непрерывность функции


        Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она имеет предел в этой точке и

        Теорема. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма f(x) + g(x), разность f(x) - g(x) и произведение f(x)·g(x) также непрерывны в данной точке. Если g(x0)≠0, то и частное двух непрерывных функций f(x)/g(x) есть непрерывная функция.
        Определение. Функция и f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех точках этого отрезка. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна во всех точках этого интервала.
        Определение. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в точке x0.

Классификация точек разрыва


        Существует три типа точек разрыва функций.
        Определение. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если данная функция не является непрерывной в точке x0 и если существует предел

        Возможно, что функция определена в точке устранимого разрыва x0, тогда
Функция может быть неопределённой в точке x0.
        Пример. Функция
имеет устранимый разрыв в точке x0=0. Можно так доопределить функцию в точке устранимого разрыва, что она станет непрерывной. Например, следующая функция является непрерывной в точке x0=0:

        Определение. Точка x0 называется точкой конечного разрыва (точкой разрыва I –го рода) функции f(x), если существуют пределы функции слева и справа от точки x0, не равные друг другу. То есть, если

        Пример. Функция
имеет конечный разрыв в точке x0=0.
        Определение. Точка x0 называется точкой разрыва II – го рода (точкой бесконечного разрыва) функции f(x), если не существует, по крайней мере, одного из односторонних пределов функции в точке x0 или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
        Пример. Функция
имеет в точке x0=0 разрыв второго рода.
        Разрывы первого и второго рода устранить нельзя.

Производная функции. Дифференцируемость

При изменении аргумента на величину приращения Δx, функция изменяется на величину приращения
Δy = f(x+Δx) - f(x).

        Определение. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x, если её приращение Δy в этой точке можно представить в виде
Δy = A·Δx + o(Δx),
где A — величина, не зависящая от Δx, а o(Δx) — бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Δx (при Δx→0).
        Величина A есть производная функции y = f(x) в точке x и обозначается y′ = f′(x).
        Произведение A·Δx называется главной линейной частью приращения функции y = f(x) или дифференциалом и обозначается dy = df(x).
        Таким образом, по определению, dy = y′dx. Из последнего равенства получаем выражение для производной

      Существует другое определение дифференцируемости функции и производной.
        Определение. Если в точке x существует предел
тогда функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, этот предел называется производной функции f(x) в точке x.
        Другими словами, производной функции y = f(x) в точке x, называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.
        Теорема. Приведённые определения эквивалентны.
        Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке.
        Пусть функция f(x) дифференцируема. Возможно, что её производная y′ = f′(x), называемая первой производной или производной первого порядка, снова является дифференцируемой функцией. Тогда производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка. Вторая производная имеет следующие обозначения:

        Аналогично определяются производные третьего и последующих порядков:


………………………………

Геометрический и механический смысл производной


        Если кривая задана уравнением y = f(x) и функция f(x) дифференцируема в точке x, то производная функции равна тангенсу угла, образованного касательной к кривой и осью Ox, то есть f′(x) = tg(Α).Это позволяет записать уравнение касательной к графику функции y = f(x), проведённой в точке x0:
.

        Уравнение нормали

        Пусть материальная точка движется вдоль прямой, и её перемещение S зависит от времени t по закону, выражаемому уравнением S = f(t). Тогда мгновенная скорость в момент времени t равна производной функции S = f′(t).

Правила дифференцирования

  1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
    (C·U(x))′ = C·U′(x)
  2. Производная суммы функций равна сумме их производных:
    (U(x) + V(x))′ = U′(x) + V′(x)
  3. Производная разности функций равна разности их производных:
    (U(x)−V(x))′ = U′(x) − V′(x)
  4. Производная произведения двух функций:
  5. Производная частного двух функций:
  6. Производная сложно показательной функции:
  7. Производная сложной функции:
  8. Если функции y = f(x) и x = g(y) — взаимно обратные функции, то
  9. Если функция задана параметрически
    то её производная равна

Таблица производных






Ссылки                   Контакты