Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        14.19. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение.

        Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения    имеет корни    так как     .
        Соответствующее однородное дифференциальное уравнение имеет вид

        Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

        Частное решение исходного дифференциального уравнения ищем в виде

        Дифференцируем это частное решение дважды

        Подставим найденные производные и функцию в исходное дифференциальное уравнение

        Отсюда, разделив на         , получим

        Приравнивая соответствующие коэффициенты, стоящие в правой и левой частях равенства, получим систему

        Решая эту систему, находим

        Таким образом, исходное неоднородное дифференциальное уравнение имеет частное решение

        Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения представляет собой сумму какого-либо частного решения исходного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. То есть

        Подставляя найденные решения, для общего решения исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения получим

        Ответ: Общее решение дифференциального уравнения