Задача 15. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке \([0, 1]\). При каких \(n\) абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит \(0,1\)    \(\forall x \in [0,1]\)?

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        15.6. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке \([0, 1]\). При каких \(n\) абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит \(0,1\)     \(\forall x \in [0,1]\)? $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{{x^n} \over {5n-9}}.$$

Решение.

        Определение: Функциональный ряд$$a_1(x)+a_2(x)+a_3(x)+\ldots+a_n(x)+\ldots$$ называется равномерно сходящимся на отрезке \([a, b]\), если для любого как угодно малого \(\varepsilon \gt 0\) найдётся такой номер \(N(\varepsilon)\), что при всех \(n\ge N(\varepsilon)\) будет выполняться неравенство $$|S(x)-S_n(x)|\lt \varepsilon.$$ для любого \(x\) из отрезка \([a, b]\).

        Ряд $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{{x^n} \over {5n-9}}=\frac x 4+x^2-{{x^3}\over 6}+{{x^4}\over 11}-{{x^5}\over 16}+ \ldots +(-1)^n{{x^n}\over {5n-9}}+ \ldots$$
является знакочередующимся рядом при любом значении \(x \in [0,1]\). При этом $$\lim_{x\to 0}{{x^n} \over {5n-9}}=0$$ и $$x^2\gt{{x^3}\over 6}\gt{{x^4}\over 11}\gt{{x^5}\over 16}\gt \ldots \gt{{x^n}\over {5n-9}}\gt \ldots$$         То есть ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница при любом \(x \in [0,1]\). Следовательно, ряд сходится и его частичная сумма отличается от суммы ряда на величину остатка, который по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена. Таким образом, $$|S(x)-S_n(x)|=|r_n(x)|\le |a_n(x)|={{x^n} \over {5n-9}}\le {1\over{5n-9}}.$$
        Заметим, что $$|S(x)-S_n(x)|\le {1\over{5n-9}}\lt \varepsilon $$
при$$n\gt \frac 1 5 \left(\frac 1 \varepsilon +9\right).$$         Таким образом, для любого сколь угодно малого числа \( \varepsilon \gt 0\), найдётся натуральное $$N\ge \frac 1 5 \left(\frac 1 \varepsilon +9\right)$$ такое, что при всех \(n\gt N(\varepsilon)\) выполняется неравенство \(|S(x)-S_n(x)|\lt \varepsilon.\)
       Следовательно, ряд равномерно сходится на промежутке \(x \in [0,1]\). Что и требовалось доказать.
       В частности, для \( \varepsilon = 0,1\) получим $$N\ge \frac 1 5 \left({1 \over {0,1}} +9\right)={19 \over 5}=3,8$$ или \(N=4\)

       Ответ: \(N=4\).