Задача 15. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке $[0, 1]$. При каких $n$ абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит $0,1$    $\forall x \in [0,1]$?

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        15.6. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке $[0, 1]$. При каких $n$ абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит $0,1$     $\forall x \in [0,1]$? $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{{x^n} \over {5n-9}}.$$

Решение.

        Определение: Функциональный ряд $$a_1(x)+a_2(x)+a_3(x)+\ldots+a_n(x)+\ldots$$ называется равномерно сходящимся на отрезке $[a, b]$, если для любого как угодно малого $\varepsilon \gt 0$ найдётся такой номер $N(\varepsilon)$, что при всех $n\ge N(\varepsilon)$ будет выполняться неравенство $$|S(x)-S_n(x)|\lt \varepsilon.$$ для любого $x$ из отрезка $[a, b]$.

        Ряд $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{{x^n} \over {5n-9}}=\frac x 4+x^2-{{x^3}\over 6}+{{x^4}\over 11}-{{x^5}\over 16}+ \ldots +(-1)^n{{x^n}\over {5n-9}}+ \ldots$$
является знакочередующимся рядом при любом значении $x \in [0,1]$. При этом $$\lim_{x\to 0}{{x^n} \over {5n-9}}=0$$ и $$x^2\gt{{x^3}\over 6}\gt{{x^4}\over 11}\gt{{x^5}\over 16}\gt \ldots \gt{{x^n}\over {5n-9}}\gt \ldots$$         То есть ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница при любом $x \in [0,1]$. Следовательно, ряд сходится и его частичная сумма отличается от суммы ряда на величину остатка, который по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена. Таким образом, $$|S(x)-S_n(x)|=|r_n(x)|\le |a_n(x)|={{x^n} \over {5n-9}}\le {1\over{5n-9}}.$$
        Заметим, что $$|S(x)-S_n(x)|\le {1\over{5n-9}}\lt \varepsilon$$
при $$n\gt \frac 1 5 \left(\frac 1 \varepsilon +9\right).$$         Таким образом, для любого сколь угодно малого числа $\varepsilon \gt 0$, найдётся натуральное $$N\ge \frac 1 5 \left(\frac 1 \varepsilon +9\right)$$ такое, что при всех $n\gt N(\varepsilon)$ выполняется неравенство $|S(x)-S_n(x)|\lt \varepsilon.$
       Следовательно, ряд равномерно сходится на промежутке $x \in [0,1]$. Что и требовалось доказать.
       В частности, для $\varepsilon = 0,1$ получим $$N\ge \frac 1 5 \left({1 \over {0,1}} +9\right)={19 \over 5}=3,8$$ или $N=4$

       Ответ: $N=4$.