|
 |
Решебник Кузнецова Л.А. VI Ряды
Задание 15. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке.
Определение:Функциональный ряд
 называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если для любого как угодно малого  найдётся такой номер N, что при всех  будет выполняться неравенство
 для любого x из отрезка [a,b].
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 6 (см. ниже) Вариант 12 Вариант 15 Вариант 17 Вариант 18
15.6 Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке  При каких  абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит   Решение.
Ряд 
является знакочередующимся рядом при любом значении  При этом 
и 
То есть ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница при любом .
Следовательно, ряд сходится и его частичная сумма отличается от суммы ряда на величину остатка, который по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена. Таким образом,
Заметим, что 
при 
Таким образом, для любого сколь угодно малого числа  , найдётся натуральное 
такое, что при всех  выполняется неравенство
Следовательно, ряд равномерно сходится на промежутке
Что и требовалось доказать.
В частности, для 
|
|