Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
16.6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.$$\sum_{n=1}^\infty {{(x-3)^n} \over {n5^n}}, \qquad [-1; 6].$$
Решение.
Заметим, что на указанном отрезке \(x \in [-1; 6]\) справедливо неравенство \(|x-3|\le 4\). Следовательно, $$\left| {{(x-3)^n} \over {n5^n}}\right|\le {{4^n} \over {n5^n}}\le \left(\frac45\right)^n.$$
Но числовой ряд $$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac45\right)^n$$ сходится как сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии $$\sum_{n=0}^\infty q^n \quad при \quad q=\frac45=0,8\lt 1.$$ Следовательно, числовой ряд $$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac45\right)^n$$ является мажорирующим для исходного функционального степенного ряда, то есть исходный функциональный ряд является мажорируемым. Согласно теореме Вейерштрасса, мажорируемый на отрезке \([-1; 6]\) функциональный ряд равномерно сходится на этом отрезке. Что и требовалось доказать.