Processing math: 100%




        Задача 17. Найти сумму ряда.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.








        17.23. Найти сумму ряда.n=0xn+2(n+1)(n+2).

Решение.

        Для того чтобы найти сумму функционального ряда заметим, чтоt0zndz=tn+1n+1.         Следовательноx0tn+1dt=xn+2n+2.         С учётом этого исходный функциональный ряд запишется в видеn=01n+1xn+2n+2=n=01n+1x0tn+1dt.        Воспользуемся свойством линейности определённого интеграла и теоремой об интегрировании сходящихся рядов. Получимn=01n+1x0tn+1dt=n=0x0tn+1n+1dt=x0(n=0tn+1n+1)dtи далее x0(n=0tn+1n+1)dt=x0(n=0t0zndz)dt=x0(t0(n=0zn)dz)dt.         Функциональный рядn=0zn=1+z+z2+z3++zn+есть степенной ряд, который сходится при |z|>1 и его сумма как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равнаn=0zn=11z.        Воспользуемся теоремой об интегрировании сходящихся рядов. Получимt0(n=0zn)dz=t011zdz=t01z1dz=ln|t1|.         С учётом всего вышесказанного сумма функционального ряда запишется n=0xn+2(n+1)(n+2)=x0(t0(n=0zn)dz)dt=x0(ln|t1|)dt=x0ln|t1|dt.         Чтобы найти последний интеграл, стоящий в выражении суммы ряда, воспользуемся формулой интегрирования по частям u(t)dv(t)=u(t)v(t)v(t)du(t).Для этого сделаем замены u(t)=ln|t1|,dv(t)=dt. Тогда du(t)=dt/(t1),v(t)=t, интеграл запишетсяx0ln|t1|dt=xln|x1|x0tt1dt=xln|x1|x0t1+1t1dt= =xln|x1|x0dt+x0t1dt=xln|x1|x+ln|x1|=(x1)ln|x1|x.         Таким образом исходная задача, в которой требовалось найти сумму ряда, полностью решена и искомая сумма ряда при |x|>1 равна n=0xn+2(n+1)(n+2)=(1x)ln|1x|+x.        Ответ: Cумму ряда равна S(x)=(1x)ln|1x|+x.