Задача 17. Найти сумму ряда.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
17.23. Найти сумму ряда.∞∑n=0xn+2(n+1)(n+2).
Решение.
Для того чтобы найти сумму функционального ряда заметим, что∫t0zndz=tn+1n+1. Следовательно∫x0tn+1dt=xn+2n+2. С учётом этого исходный функциональный ряд запишется в виде∞∑n=01n+1⋅xn+2n+2=∞∑n=01n+1⋅∫x0tn+1dt. Воспользуемся свойством линейности определённого интеграла и теоремой об интегрировании сходящихся рядов. Получим∞∑n=01n+1⋅∫x0tn+1dt=∞∑n=0∫x0tn+1n+1dt=∫x0(∞∑n=0tn+1n+1)dtи далее ∫x0(∞∑n=0tn+1n+1)dt=∫x0(∞∑n=0∫t0zndz)dt=∫x0(∫t0(∞∑n=0zn)dz)dt. Функциональный ряд∞∑n=0zn=1+z+z2+z3+⋯+zn+⋯есть степенной ряд, который сходится при |z|>1 и его сумма как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна∞∑n=0zn=11−z. Воспользуемся теоремой об интегрировании сходящихся рядов. Получим∫t0(∞∑n=0zn)dz=∫t011−zdz=−∫t01z−1dz=−ln|t−1|. С учётом всего вышесказанного сумма функционального ряда запишется ∞∑n=0xn+2(n+1)(n+2)=∫x0(∫t0(∞∑n=0zn)dz)dt=∫x0(−ln|t−1|)dt=−∫x0ln|t−1|dt. Чтобы найти последний интеграл, стоящий в выражении суммы ряда, воспользуемся формулой интегрирования по частям ∫u(t)dv(t)=u(t)v(t)−∫v(t)du(t).Для этого сделаем замены u(t)=ln|t−1|,dv(t)=dt. Тогда du(t)=dt/(t−1),v(t)=t, интеграл запишется∫x0ln|t−1|dt=xln|x−1|−∫x0tt−1dt=xln|x−1|−∫x0t−1+1t−1dt= =xln|x−1|−∫x0dt+∫x0t−1dt=xln|x−1|−x+ln|x−1|=(x−1)ln|x−1|−x. Таким образом исходная задача, в которой требовалось найти сумму ряда, полностью решена и искомая сумма ряда при |x|>1 равна ∞∑n=0xn+2(n+1)(n+2)=(1−x)ln|1−x|+x. Ответ: Cумму ряда равна S(x)=(1−x)ln|1−x|+x.