Найти сумму ряда

Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

17.23. Найти сумму ряда.$$\sum_{n=0}^\infty {{x^{n+2}} \over {(n+1)(n+2)}}.$$

Решение.

Для того чтобы найти сумму функционального ряда заметим, что$$\int_0^t z^n dz = {{t^{n+1}}\over {n+1}}.$$ Следовательно$$\int_0^x t^{n+1} dt = {{x^{n+2}}\over {n+2}}.$$ С учётом этого исходный функциональный ряд запишется в виде$$\sum_{n=0}^\infty {1 \over {n+1}}\cdot{{x^{n+2}}\over {n+2}}=\sum_{n=0}^\infty {1 \over {n+1}}\cdot\int_0^x t^{n+1} dt.$$ Воспользуемся свойством линейности определённого интеграла и теоремой об интегрировании сходящихся рядов. Получим$$\sum_{n=0}^\infty {1 \over {n+1}}\cdot\int_0^x t^{n+1} dt=\sum_{n=0}^\infty \int_0^x {{t^{n+1}} \over {n+1}}dt=\int_0^x \left(\sum_{n=0}^\infty {{t^{n+1}} \over {n+1}} \right)dt$$и далее $$\int_0^x \left(\sum_{n=0}^\infty {{t^{n+1}} \over {n+1}} \right)dt=\int_0^x \left(\sum_{n=0}^\infty \int_0^t z^n dz \right)dt=\int_0^x \left( \int_0^t \left( \sum_{n=0}^\infty z^n \right)dz \right)dt.$$ Функциональный ряд$$\sum_{n=0}^\infty z^n =1+z+z^2+z^3+\cdots+z^n+\cdots$$есть степенной ряд, который сходится при $|z|\gt 1$ и его сумма как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна$$\sum_{n=0}^\infty z^n =\frac1{1-z}.$$ Воспользуемся теоремой об интегрировании сходящихся рядов. Получим$$\int_0^t \left( \sum_{n=0}^\infty z^n \right)dz =\int_0^t \frac1{1-z}dz=-\int_0^t \frac1{z-1}dz=-ln|t-1|.$$ С учётом всего вышесказанного сумма функционального ряда запишется $$\sum_{n=0}^\infty {{x^{n+2}} \over {(n+1)(n+2)}}=\int_0^x \left( \int_0^t \left( \sum_{n=0}^\infty z^n \right)dz \right)dt=\int_0^x (-ln|t-1| )dt=-\int_0^x ln|t-1|dt.$$ Чтобы найти последний интеграл, стоящий в выражении суммы ряда, воспользуемся формулой интегрирования по частям $$\int u(t)dv(t)=u(t)v(t)-\int v(t)du(t).$$Для этого сделаем замены $u(t)=ln|t-1|, \; dv(t)=dt$. Тогда $du(t)=dt/(t-1), \; v(t)=t$, интеграл запишется$$\int_0^x ln|t-1|dt=xln|x-1|-\int_0^x \frac{t}{t-1}dt=xln|x-1|-\int_0^x \frac{t-1+1}{t-1}dt=$$ $$=xln|x-1|-\int_0^x dt+\int_0^x \frac{t-1}dt=xln|x-1|-x+ln|x-1|=(x-1)ln|x-1|-x.$$ Таким образом исходная задача, в которой требовалось найти сумму ряда, полностью решена и искомая сумма ряда при $|x|\gt 1$ равна $$\sum_{n=0}^\infty {{x^{n+2}} \over {(n+1)(n+2)}}=(1-x)ln|1-x|+x.$$ Ответ: Cумму ряда равна $S(x)=(1-x)ln|1-x|+x$.