Задача 18. Найти сумму ряда.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
18.15. Найти сумму ряда.$$\sum_{n=0}^\infty (n^2+7n+4)x^n.$$
Решение.
Для того чтобы найти сумму ряда перпишем выражение в скобках в виде$$n^2+7n+4=n^2+3n+2+4n+2=n^2+2n+n+2+4n+4-2=$$$$=n(n+2)+(n+2)+4(n+1)-2=(n+1)(n+2)+4(n+1)-2.$$ Тогда сумма ряда запишется $$\sum_{n=0}^\infty (n^2+7n+4)x^n=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)x^n+4\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n-2\sum_{n=0}^\infty x^n.$$ Вспомним формулу для производной степенной функции
Для второй производной получим
С учётом вышесказанного исходная сумма функционального ряда примет вид$$\sum_{n=0}^\infty (n^2+7n+4)x^n=\sum_{n=0}^\infty \left(x^{n+2}\right)''+4\sum_{n=0}^\infty \left(x^{n+1}\right)'-2\sum_{n=0}^\infty x^n.$$ Функциональный ряд$$\sum_{n=0}^\infty x^n =1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots$$есть степенной ряд, который сходится при \(|x|\gt 1\) и его сумма как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна$$\sum_{n=0}^\infty x^n =\frac1{1-x}.$$ Согласно теореме о дифференцировнии сходящегося ряда$$\sum_{n=0}^\infty \left(x^n\right)' =\left( \sum_{n=0}^\infty {x^n}\right)'.$$ Применяя к полученным рядам запишем$$\sum_{n=0}^\infty \left(x^{n+1}\right)' =\left( \sum_{n=0}^\infty {x^{n+1}}\right)'.$$$$\sum_{n=0}^\infty \left(x^{n+2}\right)'' =\sum_{n=0}^\infty \left(\left(x^{n+2}\right)'\right)'=\left( \sum_{n=0}^\infty \left(x^{n+2}\right)'\right)'=\left(\sum_{n=0}^\infty x^{n+2}\right)''.$$ Исходная сумма ряда запишется в виде$$\sum_{n=0}^\infty (n^2+7n+4)x^n=\left(\sum_{n=0}^\infty x^{n+2}\right)''+4\left( \sum_{n=0}^\infty {x^{n+1}}\right)'-2\sum_{n=0}^\infty x^n.$$ Степенной ряд$$\sum_{n=0}^\infty x^{n+1} =x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots$$сходится при \(|x|\gt 1\) и его сумма как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна$$\sum_{n=1}^\infty x^n =\frac{x}{1-x}.$$ Аналогично$$\sum_{n=0}^\infty x^{n+2} =x^2+x^3+x^4\cdots+x^n+\cdots=\sum_{n=2}^\infty x^n =\frac{x^2}{1-x}.$$ С учётом сказанного сумма функционального ряда принимает вид $$\sum_{n=0}^\infty (n^2+7n+4)x^n=\left(\frac{x^2}{1-x}\right)''+4\left(\frac{x}{1-x}\right)'-\frac2{1-x}.$$ В первых двух дробях вычисляем производные по формуле дифференцирования частного, а в последней дроби и числитель и знаменатель домножим на \((1-x)\). В результате получим$$\left({{\left(x^2\right)'(1-x)-x^2(1-x)'} \over {(1-x)^2}}\right)'+4{{x'(1-x)-x(1-x)'}\over {(1-x)^2}}-\frac{2(1-x)}{(1-x)^2}=$$$$=\left({{2x(1-x)+x^2} \over {(1-x)^2}}\right)'+4{{1-x+x}\over {(1-x)^2}}-\frac{2-2x}{(1-x)^2}.$$ Раскроем скобки и приведём к общему знаменателю две последние дроби. Получим$$\sum_{n=0}^\infty (n^2+7n+4)x^n=\left({{2x-x^2} \over {(1-x)^2}}\right)'+{{4-2+2x}\over {(1-x)^2}}.$$ Снова используем формулу производной частного$${{(2x-x^2)'(1-x)^2-(2x-x^2)\left((1-x)^2\right)'} \over {(1-x)^4}}+{{2+2x}\over {(1-x)^2}}=$$$$={{(2-2x)(1-x)^2-(2x-x^2)2(1-x)(-1)} \over {(1-x)^4}}+{{2+2x}\over {(1-x)^2}}=$$
Сократим превую дробь на \((1-x)\), а затем раскроем скобки и приведём к общему знаменателю. Получим
$$\sum_{n=0}^\infty (n^2+7n+4)x^n={{(2-2x)(1-x)+2(2x-x^2)} \over {(1-x)^3}}+{{2(1+x)(1-x)}\over {(1-x)^3}}=$$$$={{2-2x-2x+2x^2+4x-2x^2} \over {(1-x)^3}}+{{2-2x^2}\over {(1-x)^3}}={{4-2x^2} \over {(1-x)^3}}.$$ Искомая сумма ряда приняла вид$$\sum_{n=0}^\infty (n^2+7n+4)x^n={{4-2x^2} \over {(1-x)^3}}.$$ Ответ: Cумма ряда \(S(x)=(4-2x^2)/(1-x)^3\).