Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью α.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
9.3. Вычислить сумму ряда с точностью \(\alpha\).$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)^3}, \quad \alpha=0,001.$$
Решение.
Знакочередующийся ряд $$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)^3}=\frac12-\frac1{64}+\frac1{216}-\frac1{512}+\cdots$$удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.
Сумма ряда: \(S=S_n+R_n\), здесь \(S_n\) — \(n\) - ая частичная сумма ряда, то есть сумма первых \(n\) членов ряда; \(R_n\) — остаток ряда. По условию задачи остаток не должен превосходить заданной точности, то есть \(R_n\lt\alpha=0,001\).
По следствию к теореме Лейбница для знакочередующегося ряда остаток ряда по модулю меньше первого отброшенного члена. То есть $$|R_n|=\frac1{(2n+2)^3}\lt \alpha=0,001.$$ Последнее неравенство выполняется при \(n=5\), значит достаточно оставить первые пять членов ряда.$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)^3}=\frac12-\frac1{64}+\frac1{216}-\frac1{512}+\frac1{1000}\approx0,488.$$
Ответ:\(S=0,488.\)
Для приближённого вычисления суммы знакочередующегося ряда используется признак Лейбница, а точнее следствие из этого признака.
Числовой ряд называется знакочередующимся, если его положительные члены чередуются с отрицательными членами.
Знакочередующийся ряд называется рядом Лейбница, если каждый последующий член по абсолютной величине не превосходит или меньше предыдущего члена, и при этом предел последовательности абсолютных величин членов ряда равен нулю.
Признак Лейбница утверждает, что такой ряд, то есть ряд Лейбница, сходится и при этом его сумма не превосходит по абсолютной величине первого члена ряда.
Из этого признака непосредственно вытекает следствие, согласно которому, остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого отброшенного члена. А это, в свою очередь, означает, что для вычисления суммы ряда Лейбница с заданной точностью, нужно найти первый член, который меньше этой заданной точности и отбросить его и все последующие члены ряда, а те члены, которые остались, то есть которые больше, чем заданная точность, сложить. Эти члены, большие заданной точности по абсолютной величине, стоят в начале ряда.