Задача 1. Решить смешанную задачу.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
1.11. Решить смешанную задачу. \(\qquad u_t=7u_{xx}; \qquad u(x,0)=11sin2\pi x; \qquad u(0,t)=u(3,t)=0.\)
Решение.
Это уравнение теплопроводности. Решаем задачу по методу Фурье. Решение имеет вид: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x).$$Здесь \(X_n(x)\) — собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;$$T_n(t)=C_ne^{-a^2\lambda_n^2t;}$$ \(\lambda_n=\pi n/l\) — собственные значения задачи Штурма-Лиувилля; \(C_n\) — коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
Cобственные функции задачи Штурма-Лиувилля$$X_n(x)=sin\frac{\pi nx}l.$$ Таким образом, решение исходной задачи имеет вид$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x)=\sum_{n=1}^\infty C_ne^{-a^2\left(\frac{\pi n}l\right)^2t}sin\frac{\pi nx}l.$$ В частности, при \(t=0\) получим$$u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty C_n sin\frac{\pi nx}l=11sin2\pi x.$$ В нашем случае \(l=3,\quad a=\sqrt7\) и$$\sum_{n=1}^\infty C_n sin\frac{\pi nx}3=11sin2\pi x.$$ В последнем равенстве, слева стоит разложение функции \(11sin2\pi x\) в ряд Фурье.
Коэффициенты ряда Фурье \(С_n=11 \; при \; n=6, \; и \; С_n=0 \; при \; n\neq6\).
Таким образом, \(u(x,t)=11e^{-28 \pi^2t}sin2\pi x\).
Ответ: Решение смешанной задачи \(u(x,t)=11e^{-28 \pi^2t}sin2\pi x\).