Задача Штурма-Лиувилля

        Задача Штурма-Лиувилля это задача о собственных значениях и собственных функциях.
        Задача Штурма-Лиувилля состоит в следующем.
        Пусть дана краевая задача:


        Требуется найти значения параметра         , при которых существуют ненулевые решения данной краевой задачи.
        При этом значения         называются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующие ненулевые решения называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.
        Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.


        Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения

.


        Подставляем в первое граничное условие

.


        Получаем

    и         .


        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять         , то получим тривиальное решение         .
        Поэтому         , и следовательно,

.


        Отсюда находим собственные значения задачи Штурма-Лиувилля:

.


        Тогда собственные функции задачи Штурма-Лиувилля

.






Ссылки                   Контакты