|
|
Задача Штурма-Лиувилля
        Задача Штурма-Лиувилля это задача о собственных значениях и собственных функциях.
        Задача Штурма-Лиувилля состоит в следующем.
        Пусть дана краевая задача:
        Требуется найти значения параметра         , при которых существуют ненулевые решения данной краевой задачи.
        При этом значения         называются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующие ненулевые решения называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.
        Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни .         Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения
.         Подставляем в первое граничное условие
.         Получаем
    и         .         Подставляем во второе граничное условие
. Если принять         , то получим тривиальное решение         .
        Поэтому         , и следовательно,
.         Отсюда находим собственные значения задачи Штурма-Лиувилля:
.         Тогда собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
.
|
|