Задача Штурма-Лиувилля

        Задача Штурма-Лиувилля — это задача о собственных значениях и собственных функциях. Задача Штурма-Лиувилля состоит в следующем. Пусть дана граничная задача для однородного дифференциального уравнения второго порядка$$X''+\lambda^2X=0; \qquad X(0)=X(l)=0.$$        Найдём значение \( \lambda=\lambda_n\), при котором будет существовать ненулевое решение данной граничной задачи. Такое значение \( \lambda\) называется собственным числом задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующее решение называется собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля.

        Характеристическое уравнение исходного однородного дифференциального уравнения$$k^2+\lambda^2=0$$имеет мнимые корни \(k=\pm \lambda i=\pm \lambda\sqrt{-1}\).

        В соответствии с корнями общее решение дифференциального уравнения принимает вид$$X(x)=Acos(\lambda x)+Bsin(\lambda x).$$        Подставляем общее решение в первое граничное условие.$$X(0)=Acos(\lambda 0)+Bsin(\lambda 0)=A=0.$$Тогда задача Штурма-Лиувилля принимает решение \(X(x)=Bsin(\lambda x)\). Подставляем это решение во второе граничное условие$$X(l)=Bsin(\lambda l)=0.$$        Если принять \(B=0\), то задача Штурма-Лиувилля будет иметь тривиальное нулевое решение \(X(x)=0\). Поэтому \(B\neq0\) и, следовательно, \(sin(\lambda l)=0\). Из последненего уравнения находим собственные значения или собственные числа задачи Штурма-Лиувилля: $$\lambda_n=\frac{\pi n}l.$$         Тогда собственные функции$$X_n(x)=sin\left(\frac{\pi nx}l\right).$$       Задача Штурма-Лиувилля решена.