1. Пределы

  2. Дифференцирование

  3. Графики

  4. Интегралы

  5. Дифференциальные уравнения

  6. Ряды

  7. Кратные интегралы

  8. Векторный анализ

  9. Аналитическая геометрия

  10. Линейная алгебра

  11. Уравнения математической физики















Решебник Кузнецова.
XI Уравнения математической физики

Задание 2. Решить смешанную задачу.



    Вариант 1  Вариант 2  Вариант 3  Вариант 4  Вариант 5  Вариант 6

    Вариант 7  Вариант 8  Вариант 9  Вариант 10  Вариант 11  Вариант 12

    Вариант 13  Вариант 14  Вариант 15  Вариант 16  Вариант 17  Вариант 18

    Вариант 19  Вариант 20  Вариант 21  Вариант 22  Вариант 23  Вариант 24

    Вариант 25  Вариант 26  Вариант 27  Вариант 28  Вариант 29  Вариант 30

  Вариант 31



        2.1. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 1:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 1:
.



        Таким образом,

.





        2.2. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 2:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 2:
.



        Таким образом,

.





        2.3. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 3:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 3:
.



        Таким образом,

.





        2.4. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 4:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 4:
.



        Таким образом,

.





        2.5. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 5:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 5:
.



        Таким образом,

.





        2.6. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 6:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 6:
.



        Таким образом,

.





        2.7. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 7:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 7:
.



        Таким образом,

.





        2.8. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 8:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 8:
.



        Таким образом,

.





        2.9. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 9:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 9:
.



        Таким образом,

.





        2.10. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 10:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 10:
.



        Таким образом,

.





        2.11. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 11:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 11:
.



        Таким образом,

.





        2.12. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 12:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 12:
.



        Таким образом,

.





        2.13. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 13:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 13:
.



        Таким образом,

.





        2.14. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 14:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 14:
.



        Таким образом,

.





        2.15. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 15:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 15:
.



        Таким образом,

.





        2.16. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 16:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 16:
.



        Таким образом,

.





        2.17. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 17:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение ищем по методу Фурье. Общее решение имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 17:
.



        Таким образом,

.





        2.18. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 18:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 18:
.



        Таким образом,

.





        2.19. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 19:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 19:
.



        Таким образом,

.





        2.20. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 20:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 20:
.



        Таким образом,

.





        2.21. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 21:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. По методу Фурье общее решение имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 21:
.



        Таким образом,

.





        2.22. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 22:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 22:
.



        Таким образом,

.





        2.23. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 23:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 23:
.



        Таким образом,

.





        2.24. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 24:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 24:
.



        Таким образом,

.





        2.25. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 25:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 25:
.



        Таким образом,

.





        2.26. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 26:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 26:
.



        Таким образом,

.





        2.27. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 27:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 27:
.



        Таким образом,

.





        2.28. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 28:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 28:
.



        Таким образом,

.





        2.29. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 29:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение ищем по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 29:
.



        Таким образом,

.





        2.30. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 30:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         .


        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 30:
.



        Таким образом,

.





        2.31. Решить смешанную задачу


        В нашем варианте № 31:
.


Решение.


        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.

Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача

.

        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения

имеет мнимые корни
.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения


        Производная
.

        Подставляем в первое граничное условие

.

Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие

.

Если принять        , то получим тривиальное решение         и
    , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа



        Тогда собственные функции



        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид



        В частности, при         получим



        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции


в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:
        если         ;
        если         ;
        если         ;

        Таким образом,

.


        В нашем варианте № 31:
.



        Таким образом, решение уравнения теплопроводности имеет вид

.