Уравнения математической физики

Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

2.13. Решить смешанную задачу. $\qquad u_t=4u_{xx}; \qquad u(x,0)=13cos2\pi x+14cos3\pi x; \qquad u_x(0,t)=u_x(2,t)=0.$

Решение.

Это уравнение теплопроводности. Решаем задачу по методу Фурье. Решение имеет вид: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x).$$Здесь $X_n(x)$ — собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;$$T_n(t)=C_ne^{-a\lambda_n^2t.}$$Здесь $a=4$ — коэффициент, стоящий в исходном уравнении; $\lambda_n$ — собственные числа задачи Штурма-Лиувилля; $C_n$ — коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

Задача Штурма-Лиувилля. Рассмотрим граничную задачу для однородного дифференциального уравнения второго порядка$$X''+\lambda^2X=0; \qquad X'(0)=X'(l)=0.$$ Требуется найти значения параметра $ \lambda=\lambda_n$ (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.

Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения$$k^2+\lambda^2=0$$имеет мнимые корни $k=\pm \lambda i=\pm \lambda\sqrt{-1}$.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения$$X(x)=Acos(\lambda x)+Bsin(\lambda x).$$

Производная общего решения$$X'(x)=-\lambda Asin(\lambda x)+\lambda Bcos(\lambda x).$$

Подставляем в первое граничное условие$$X'(0)=-\lambda Asin(0)+\lambda Bcos(0)=\lambda B=0.$$

Получаем $B=0$ и $X(x)=Acos(\lambda x)$. Подставляем во второе граничное условие$$X'(l)=-\lambda Asin(\lambda l)=0.$$ Если здесь принять $A=0$, то получим тривиальное решение $X=0$ и тогда $u(x,t)=0$. Очевидно, что тривиальное решение не удовлетворяет исходному начальному условию, поэтому $A\neq0$, и, мы получасем уравнение для определения собсвтенных чисел $sin(\lambda l)=0$, из которого и находим эти самые собственные числа$$\lambda_n=\frac{\pi n}l=\frac{\pi n}2.$$ Тогда собственные функции$$X_n(x)=cos\frac{\pi nx}l=cos\frac{\pi nx}2.$$ Задача Штурма-Лиувилля решена.

С учётом найденных собственных функций и собственных значений решение исходной смешанной задачи принимает вид$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty C_ne^{-\pi^2n^2t}cos\frac{\pi nx}2.$$ В частности, подставляя найденное решение при $t=0$ в начальное условие получим $$u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty C_ncos\frac{\pi nx}2=13cos2\pi x+14cos3\pi x.$$ Из данного разложения получаем $С_4=13, \; С_6=14$, а при $n\neq4$ и $n\neq6 \quad C_n=0$.

Таким образом искомое решение смешанной задачи$$u(x,t)=13e^{-16\pi^2t}cos2\pi x+14e^{-36\pi^2t}cos3\pi x.$$ Ответ: Решение смешанной задачи $u(x,t)=13e^{-16\pi^2t}cos2\pi x+14e^{-36\pi^2t}cos3\pi x$.