|
|
Решебник Кузнецова. XI Уравнения математической физики
Задание 2. Решить смешанную задачу.
        2.1. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 1: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 1: .
        Таким образом,
.
        2.2. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 2: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 2: .
        Таким образом,
.
        2.3. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 3: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 3: .
        Таким образом,
.
        2.4. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 4: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 4: .
        Таким образом,
.
        2.5. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 5: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 5: .
        Таким образом,
.
        2.6. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 6: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 6: .
        Таким образом,
.
        2.7. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 7: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 7: .
        Таким образом,
.
        2.8. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 8: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 8: .
        Таким образом,
.
        2.9. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 9: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 9: .
        Таким образом,
.
        2.10. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 10: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 10: .
        Таким образом,
.
        2.11. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 11: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 11: .
        Таким образом,
.
        2.12. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 12: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 12: .
        Таким образом,
.
        2.13. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 13: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 13: .
        Таким образом,
.
        2.14. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 14: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 14: .
        Таким образом,
.
        2.15. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 15: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 15: .
        Таким образом,
.
        2.16. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 16: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 16: .
        Таким образом,
.
        2.17. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 17: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение ищем по методу Фурье. Общее решение имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 17: .
        Таким образом,
.
        2.18. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 18: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 18: .
        Таким образом,
.
        2.19. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 19: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 19: .
        Таким образом,
.
        2.20. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 20: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 20: .
        Таким образом,
.
        2.21. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 21: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. По методу Фурье общее решение имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 21: .
        Таким образом,
.
        2.22. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 22: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 22: .
        Таким образом,
.
        2.23. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 23: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 23: .
        Таким образом,
.
        2.24. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 24: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 24: .
        Таким образом,
.
        2.25. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 25: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Смешанная задача для уравнения теплопроводности решается по методу Фурье. Общее решение имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 25: .
        Таким образом,
.
        2.26. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 26: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 26: .
        Таким образом,
.
        2.27. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 27: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 27: .
        Таким образом,
.
        2.28. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 28: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 28: .
        Таким образом,
.
        2.29. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 29: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение ищем по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 29: .
        Таким образом,
.
        2.30. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 30: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид:
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         .
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 30: .
        Таким образом,
.
        2.31. Решить смешанную задачу
        В нашем варианте № 31: .
Решение.
        Это уравнение теплопроводности. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности можно по методу Фурье.
Здесь:         - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям; здесь         - коэффициент, стоящий в исходном уравнении;         - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля;         - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
        Задача Штурма-Лиувилля. Есть граничная задача .
        Требуется найти значения параметра         (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения (собственные функции) данной граничной задачи.
        Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
        Производная .         Подставляем в первое граничное условие . Получаем         и         .
        Подставляем во второе граничное условие . Если принять        , то получим тривиальное решение         и     , которое не отвечает исходному начальному условию. Поэтому        , и следовательно,        .
        Отсюда находим собственные числа
        Тогда собственные функции
        Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
        В частности, при         получим
        В последнем равенстве, слева стоит разложение функции
в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье:         если         ;
        если         ;         если         ;
        Таким образом,
.
        В нашем варианте № 31: .
        Таким образом, решение уравнения теплопроводности имеет вид
.
|
|
|