Задача 7. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        7.14. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя). $$\vec a=(3x-2z)\vec i +(z-2y) \vec j +(1+2z) \vec k, \; S: z^2=4(x^2+y^2), z=2.$$

Решение.

        Поверхность $S$ ограничивает конус, у которого радиус равен $R=1$ и высота $H=2$. Чтобы определить поток векторного поля через замкнутую поверхность, воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского: $$П=\iint_S (\vec a, \vec n)dS=\iiint_V div \vec a dxdydz.$$         Здесь $$div \vec a = \frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}=\frac{\partial (3x-2z)}{\partial x}+\frac{\partial (z-2y)}{\partial y}+\frac{\partial (1+2z)}{\partial z}=6-2+2=3$$ — дивергенция векторного поля
        Поток векторного поля: $$П=\iiint_V 3 dxdydz =3\iiint_V dxdydz.$$         Здесь $V=\frac13 \pi R^2 H$ — объём конуса. Тогда поток векторного поля запишется: $$П=3\cdot \frac{2\pi}3 =2\pi.$$         Ответ: Поток векторного поля равен $П=2\pi$.

---