Определение. Если каждому натуральному числу \(n\) ставится в соответствие некоторое вещественное число \(x_n\), то множество вещественных чисел$$x_1,\, x_2, \, \ldots \, x_n, \ldots $$называется последовательностью.
Определение. Число \(b\) называется пределом последовательности \(\{x_n\}\), если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует натуральное число \(N\) такое, что при всех \(n\gt N\) выполняется неравенство$$|x_n-b|\lt\varepsilon.$$
Если последовательность \(\{x_n\}\) имеет предел \(b\), то говорят, что она сходится к числу \(b\), и записывают$$x_n\to b \quad при \quad n\to\infty, \quad или \quad \lim_{n\to\infty}x_n=b, \quad или \quad \lim x_n=b.$$В противном случае говорят, что последовательность расходится.
Пример.$$\lim_{n\to\infty}\frac 1n=0.$$
Действительно, возьмём некоторое положительное число \(\varepsilon\). Подберём \(N\) так, чтобы \(N\gt 1/\varepsilon\). Тогда, из выполнения неравенства \(n\gt N\gt 1/\varepsilon\) следует выполнение неравенства$$|x_n-0|=|x_n|=\frac1n\lt\frac1N\lt\varepsilon.$$ Пример. Последовательность \(\{x_n\}=\{n!\}\) расходится.
Здесь \(n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\) — произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(n.\) Величина \(n!\) называется факториалом числа \(n\).
Пример.$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\approx 2,718281828\ldots.$$ Теорема. Если последовательности \(\{x_n\}, \;\{y_n\}\) сходятся, то их сумма \(\{x_n+y_n\}\), разность \(\{x_n-y_n\}\) и произведение \(\{x_n\cdot y_n\}\) тоже сходятся и$$\lim_{n\to\infty}\left(x_n+y_n\right)=\lim_{n\to\infty}x_n+\lim_{n\to\infty}y_n,$$$$\lim_{n\to\infty}\left(x_n-y_n\right)=\lim_{n\to\infty}x_n-\lim_{n\to\infty}y_n,$$$$\lim_{n\to\infty}\left(x_n\cdot y_n\right)=\lim_{n\to\infty}x_n\cdot \lim_{n\to\infty}y_n.$$Если, при этом \(\lim y_n\neq 0,\) то частное последовательностей \(\{x_n/y_n\}\) также сходится и$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x_n}{y_n}\right)={{\lim_{n\to\infty}{x_n}}\over{\lim_{n\to\infty}{y_n}}}.$$
Определение. Если каждому числу \(x\) из множества \(X\) ставится в соответствие некоторое вещественное число \(y\), то говорят, что на множестве \(X\) задана функция, и пишут \(y=f(x).\) Число \(y\) называется значением функции \(f\) в точке \(x\). Переменная \(x\) называется независимой переменной или аргументом функции. Множество \(X\) называется областью определения функции \(f.\)
Определение 1 (Коши). Число \(b\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует положительное число \(\delta\) такое, что для всех \(x,\) удовлетворяющих неравенству$$|x-x_0|\lt\delta,$$выполняется неравенство$$|f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon.$$ Если функция \(f(x)\) имеет предел \(b\) в точке \(x_0,\) то говорят, что функция \(f(x)\) стремится к числу \(b\) при \(x,\) стремящемся к \(x_0.\) При этом записывают$$\lim_{x\to x_0}f(x)=b.$$ Определение 2 (Гейне). Число \(b\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0,\) если для любой сходящейся к \(x_0\) последовательности аргументов$$x_1,\, x_2, \, \ldots \, x_n, \ldots $$соответствующая последовательность значений функции$$f(x_1),\, f(x_2), \, \ldots \, f(x_n), \ldots$$сходится к числу \(b.\)
Теорема. Оба определения предела функции эквивалентны.
Теорема. Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют в точке \(x_0\) пределы, то их сумма, разность и произведение тоже имеют пределы в этой точке, и$$\lim_{x\to x_0}\left(f(x)+g(x)\right)=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x),$$$$\lim_{x\to x_0}\left(f(x)-g(x)\right)=\lim_{x\to x_0}f(x)-\lim_{x\to x_0}g(x),$$$$\lim_{x\to x_0}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim_{x\to x_0}g(x).$$Если, при этом \(\lim_{x\to x_0}g(x)\neq0,\) то частное двух функций \(f(x)/g(x)\) имеет предел$$\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}g(x)}.$$ Определение. Число \(b\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) слева, если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует положительное число \(\delta\) такое, что для всех \(x\in(x_0-\delta; x_0),\) выполняется неравенство$$|f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon.$$Если функция \(f(x)\) имеет предел слева в точке \(x_0,\) то записывают$$\lim_{x\to x_0-0}f(x)=b \quad или \quad \lim_{x\to x_0-}f(x)=b.$$ Определение. Число \(b\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) справа, если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует положительное число \(\delta\) такое, что для всех \(x\in(x_0; x_0+\delta),\) выполняется неравенство$$|f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon.$$Если функция \(f(x)\) имеет предел справа в точке \(x_0\), то записывают$$\lim_{x\to x_0+0}f(x)=b \quad или \quad \lim_{x\to x_0+}f(x)=b.$$ Определение. Число \(b\) называется пределом функции \(f(x)\) при \(x\to+\infty,\) если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует положительное число \(M,\) что для всех \(x\), удовлетворяющих неравенству \(x\gt M,\) выполняется неравенство$$|f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon.$$Если функция \(f(x)\) имеет предел при \(x\to+\infty,\) то записывают$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=b.$$ Аналогично определяется предел при \(x\to-\infty.\)
Определение. Если существуют пределы функции при \(x\to+\infty\) и при \(x\to-\infty\) и если эти пределы равны$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=b,$$то говорят, что число \(b\) есть предел функции \(f(x)\) при \(x\to\infty\) и записывают$$\lim_{x\to\infty}f(x)=b.$$
Теорема (первый замечательный предел).$$\lim_{x\to0}\frac{sin x}x=1.$$ Следствие 1.$$\lim_{x\to0}\frac{1-cos x}x=\frac12.$$ Следствие 2.$$\lim_{x\to0}\frac{tg x}x=1.$$ Следствие 3.$$\lim_{x\to0}\frac{arcsin x}x=1.$$ Теорема (второй замечательный предел).$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e.$$ Следствие 1.$$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e.$$ Следствие 2.$$\lim_{x\to0}\frac{log_a(1+x)}x=log_ae=\frac1{lna}.$$ Следствие 3.$$\lim_{x\to0}\frac{ln(1+x)}x=1.$$
Определение. Функция \(\alpha(x)\) называется бесконечно малой функцией при \(x\to x_0,\) если$$\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0.$$ Теорема. Функция \(f(x)\) имеет предел \(b\) в точке \(x_0\) тогда и только тогда, когда в окрестности этой точки она может быть представлена в виде суммы числа \(b\) и бесконечно малой функции \(\alpha(x).\) То есть$$f(x)=b+\alpha(x).$$ Определение. Функция \(\beta(x)\) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем бесконечно малая функция \(\alpha(x),\) если$$\lim_{x\to x_0}\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=0.$$ Определение. Функции \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются бесконечно малыми функциями одного порядка, если$$\lim_{x\to x_0}\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=A\neq0.$$ Определение. Функция \(\beta(x)\) называется бесконечно малой функцией \(n\)–го порядка относительно \(\alpha(x),\) если$$\lim_{x\to x_0}\frac{\beta(x)}{(\alpha(x))^n}=A\neq0.$$ Определение. Бесконечно малые функции \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями, если$$\lim_{x\to x_0}\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=1.$$ Если функции \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) являются эквивалентными бесконечно малыми функциями, то записывают \(\alpha(x)\approx\beta(x).\)
При вычислении пределов бесконечно малые функции можно заменять на эквивалентные. Значение предела при этом не изменится.
Эквивалентные бесконечно малые \(x\to0\)
1. \(sin\, x\approx x\)
2. \(tg\, x\approx x\)
3. \(arcsin\, x\approx x\)
4. \(arctg\, x\approx x\)
5. \(1-cos\, x\approx \frac12x^2\)
6. \(e^x-1\approx x\)
7. \(a^x-1\approx x\cdot ln\, x\)
8. \(ln(1+x)\approx x\)
9. \(log_a(1+x)\approx \frac x{ln\, a}\)
10. \(sh\, x\approx x\)
11. \(ch\, x-1\approx \frac12x^2\)
12. \(th\, x\approx x\)
13. \((1+x)^m-1\approx m\cdot x\)
Из последней эквивалентности, следуют частные случаи.
1. \(\frac1{1+x}-1=(1+x)^{-1}-1\approx -x\)
2. \(\frac1{1-x}-1=(1-x)^{-1}-1\approx x\)
3. \(\sqrt{1+x}-1=(1-x)^{1/2}-1\approx \frac x2\)
4. \(\sqrt[n]{1+x}-1=(1-x)^{1/n}-1\approx \frac xn\)
5. \(\frac1{\sqrt{1+x}}-1=(1-x)^{-1/2}-1\approx -\frac{x}2\)
6. \(\frac1{\sqrt[n]{1+x}}-1=(1+x)^{-1/n}-1\approx -\frac{x}n\)