Множество

Множество — первичное понятие математики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, существуют различные описания множества.
Например, Георг Кантор дал такое описание: Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое A определённых хорошо различимых предметов x нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества A).
Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».
Иногда множества определяется через аксиомы теории множеств.

Основоположником теории конечных и бесконечных множеств был Бернард Больцано. Он сформулировал некоторые её принципы.
Позднее, в 1872—1884 гг., Георг Кантор систематически изложил основы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет.
Конечные множества можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с множеством. Бесконечные множества можно задавать только с помощью описания.
Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x), обозначил {x/A(x)}. При этом, A(x) называется характеристическим свойством множества.
Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если x — элемент множества А, то записывают x∈A (x принадлежит А). Если x не является элементом множества А, то записывают x∉A (x не принадлежит A).

Некоторые виды множеств

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Отношения между множествами

Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.
A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:

A⊆B ⇔ ∀a∈A ⇒ a∈B.

A равно B, если A и B включены друг в друга:

A = B ⇔ (A⊆B) ∧ (B⊆A).

A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:

A ⊂ B ⇔ (A⊆B) ∧ (A≠B).

Множества Жюлиа и Мандельброта

В 1918 г. 25-летний француз Гастон Жюлиа (1893-1978) залечивал свои раны в госпитале. Изнывая от безделья, молодой Жюлиа заинтересовался поведением точки последовательности $$ z_{n+1}=z_n^2+C.$$ на комплексной плоскости. Гастон пришёл к выводу, что последовательность точек может вести себя по-разному. Точка последовательности $z_n$ может уходить в бесконечность либо может стремиться к некоторой конечной точке комплексной плоскости, называемой аттрактором. То есть аттрактор это точка притяжения итерационного процесса или предел последовательности.
Множество всех точек плоскости с конечными аттракторами называется множеством Жюлиа. Вид множества Жюлиа зависит от значения параметра $C$. При $C = 0$ последовательность точек $z_{n+1}=z_n^2$ сходится: либо к нулю при $|z_1|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\lt1$ либо к бесконечности при $|z_1|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\gt1$. Таким образом, при C = 0 множество Жюлиа представляет собой круг с центром в начале координат и радиусом 1.
На рисунке а) изображено множество Жюлиа при $C=0,27334+0,00742 \cdot i$, а на рисунке б) при $C=-1,25$.

При $C=-0,74543+0,11301\cdot i$, множество Жюлиа превращается в причудливую ломаную линию.

В сказочный ковёр превращается множество Жюлиа при $C=i$.

При некоторых значениях $C$ множество Жюлиа теряет связность и рассыпается на множество мелких осколков. Такие множества Жюлиа называются пылью Фату.
Множеством Мандельброта называется множество всех точек $C$, при которых множество Жюлиа связно.

В его основе лежит кардиоида с вершинами на вещественной оси в точках $0,25$ и $-0,75$ и круг радиуса $0,25$ с центром в точке $-1$. Множество Мандельброта облеплено почками, наростами и причудливыми усами. Эти почки и наросты в свою очередь облеплены более мелкими почками и так далее. При более сильном увеличении в окрестностях границ множества Мандельброта обнаруживаются уменьшенные копии самого множества Мандельброта. Андриен Дуади и Дж. Хаббард доказали, что множество Мандельброта связно.

По материалам книги: Волошинов А.В. Математика и искусство. -М.: Просвещение, 2000г.

Другие статьи по математике

Задача по физике