Здесь рассмотрено несколько интересных задач по физике преимущественно из разделов механики и термодинамики.
С какой силой атмосфера давит на человека?
Площадь поверхности человека \(S=1,7\,м^2.\) Атомсферное давление равно \(p=10^5\, Па.\) Сила давления$$F=pS=1,7\,м^2\cdot10^5\,Па=1,7\cdot10^5Н.$$ Много это или мало? С такой силой давит груз массой$$m=\frac Fg=\frac{1,7\cdot10^5Н}{9,8\,м/с^2}=17346\,кг.$$ То есть на взрослого человека давит семнадцать с лишним тонн — это примерно пять слонов или грузовой автомобиль.
Какая плотность воздуха при нормальных условия?
Из уравнения Менделеева-Клапейрона$$pV=\frac m\mu RT$$найдём плотность$$\rho=\frac mV=\frac{p\mu}{RT}.$$Здесь: \(\mu=0,029\,кг/моль\) — молярная масса воздуха; \(R=8,31\,Дж/К\cdot моль\) — универсальная газовая постоянная;
\(T=0^oC=273\,К\) — температура при нормальных условиях; \(p=10^5\,Па\) — нормальное атмосферное давление. Подставляя эти значения в формул для плотности воздуха, получим$$\rho=\frac{10^5\,Па\cdot0,029\,кг/моль}{8,31\,Дж/К моль\cdot273\,К}=1,28\frac{кг}{м^3}.$$ Таким образом в комнате с объёмом 50 кубометров (площадью 20 кв.м и высотой потолков 2,5 м) находится примерно 60 кг воздуха.
Задача о минимальной массе воздушного шара.
Воздушный шар наполяется гелием при при нормальных условиях. Один квадратный метр материала оболочки шара имеет массу 3кг. Каким должна быть минимальная масса шара, чтобы он смог подняться в воздух?
Дано: \(\sigma=3\,кг/м^2\); \(T=0^oC=273\,К\); \(p=1\,атм=10^5\,Па\).
Решение.
На шар действует сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила Архимеда \(F_A=\rho_0gV\), направленная вертикально вверх. Здесь \(V\) — объём шара, а \(\rho_0\) плотность окружающего его воздуха. Масса шара состоит из массы оболочки, которая равна \(\sigma S\), и массы наполняющего её гелия, которая равна \(\rho V\). Таким образом$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad m=\sigma S+\rho V, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$где \(\rho\) — плотность гелия, а \(S\) — площадь оболочки шара.
Шар начнёт подниматься, когда сила Архимеда превзойдёт силу тяжести, то есть при условии \(F_A\gt mg\) или$$\rho_0gV\gt(\sigma S+\rho V)g.$$Отсюда после сокращения на ускорение свободного падения \(g\) и последующего преобразования получим$$(\rho_0-\rho)V\gt\sigma S.$$ Из курса геометрии шаров и сфер нам стало известно, что объём и площадь поверхности шара определяются формулами$$V=\frac43\pi r^3, \qquad \qquad S=4\pi r^2.$$ Подставим \(V\) и \(S\) в последнее неравенство и сократим его на \(4\pi r^2\). В результат этих действий получим$$(\rho_0-\rho)\frac r3\gt\sigma.$$Отсюда$$r\gt\frac{3\sigma}{\rho_0-\rho}.$$ Таким образом, минимальный радиус шара, при котором он сможет подниматься, равен$$r_{min}=\frac{3\sigma}{\rho_0-\rho}.$$ Подставим в формулу (1) выражение для объёма \(V\) и площади поверхности \(S\) найдём минимальную массу.$$m_{min}=4\pi r_{min}^2\left(\sigma +\frac{\rho r_{min}}3\right).$$ Подставим найденное значение минимального радиуса. После преобразования получим$$m_{min}=\frac{36\pi\rho\sigma^3}{(\rho_0-\rho)^3}.$$
Из этой формулы мы видим, для того чтобы подняться шар должен быть достаточно тяжёлым \((m\gt m_{min}).\) Лёгкий шар, масса которого меньше минимальной, не сможет подняться. Что в целом противоречит не только расхожему мнению, но и мнению Аристотеля, считавшего, что тяжёлые тела должны падать вниз, а лёгкие подниматься вверх. На данном примере мы видим, что всё происходит с точностью до наоборот.
Однако вернёмся к вычислению массы. Нам осталось посчитать плотность воздуха и гелия и подставить их в формулу массы. Из уравнения Клапейрно-Менделеева, плотность газа равна$$\rho=\frac mV=\frac{p\mu}{RT}.$$Тогда$$m_{min}=\frac{36\pi \mu R^2T^2\sigma^3}{p^2(\mu_0-\mu)^3}.$$Здесь: \(R=8,31\,Дж/К\cdot моль\) — универсальная газовая постоянная; \(\mu_0=0,029\,кг/моль\) — молярная масса воздуха; \(\mu=0,004\,кг/моль\) — молярная масса гелия.
Подставим значения в формулу минимальной массы и посчитаем её на калькуляторе.$$m_{min}=\frac{36\pi 0,004\,кг/моль \left(8,31\,Дж/Кмоль \right)^2(273\,К)^2\left(3\,кг/м^2 \right)^3}{\left(10^5\,Па\right)^2\left(0,029\,кг/моль-0,004\,кг/моль\right)^3}=402,33\,кг.$$ Ответ: \(m_{min}=402\,кг\).
Итак, минимальная масса воздушного шара равна почти полтонны!
