Здесь рассмотрено несколько интересных задач по физике преимущественно из разделов механики и термодинамики.
С какой силой атмосфера давит на человека?
Площадь поверхности человека \(S=1,7\,м^2.\) Атомсферное давление равно \(p=10^5\, Па.\) Сила давления$$F=pS=1,7\,м^2\cdot10^5\,Па=1,7\cdot10^5Н.$$ Много это или мало? С такой силой давит груз массой$$m=\frac Fg=\frac{1,7\cdot10^5Н}{9,8\,м/с^2}=17346\,кг.$$ То есть на взрослого человека давит семнадцать с лишним тонн — это примерно пять слонов или грузовой автомобиль.
Какая плотность воздуха при нормальных условия?
Из уравнения Менделеева-Клапейрона$$pV=\frac m\mu RT$$найдём плотность$$\rho=\frac mV=\frac{p\mu}{RT}.$$Здесь: \(\mu=0,029\,кг/моль\) — молярная масса воздуха; \(R=8,31\,Дж/К\cdot моль\) — универсальная газовая постоянная;
\(T=0^oC=273\,К\) — температура при нормальных условиях; \(p=10^5\,Па\) — нормальное атмосферное давление.
Подставляя эти значения в формулу для плотности воздуха, получим$$\rho=\frac{10^5\,Па\cdot0,029\,кг/моль}{8,31\,Дж/К моль\cdot273\,К}=1,28\frac{кг}{м^3}.$$ Таким образом, в комнате с объёмом 50 кубометров (площадью 20 кв.м и высотой потолков 2,5 м) находится примерно 60 кг воздуха.
Задача о минимальной массе воздушного шара.
Воздушный шар наполяется гелием при нормальных условиях. Один квадратный метр материала оболочки шара имеет массу 3кг. Каким должна быть минимальная масса шара, чтобы он смог подняться в воздух?
Дано: \(\sigma=3\,кг/м^2\); \(T=0^oC=273\,К\); \(p=1\,атм=10^5\,Па\). Найти: \(m_{min}=?\)
Решение.
На шар действует сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила Архимеда \(F_A=\rho_0gV\), направленная вертикально вверх. Здесь \(V\) — объём шара, а \(\rho_0\) плотность окружающего его воздуха. Масса шара состоит из массы оболочки, которая равна \(\sigma S\), и массы наполняющего её гелия, которая равна \(\rho V\). Таким образом$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad m=\sigma S+\rho V, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$где \(\rho\) — плотность гелия, а \(S\) — площадь оболочки шара.
Шар начнёт подниматься, когда сила Архимеда превзойдёт силу тяжести, то есть при условии \(F_A\gt mg\) или$$\rho_0gV\gt(\sigma S+\rho V)g.$$Отсюда после сокращения на ускорение свободного падения \(g\) и последующего преобразования получим$$(\rho_0-\rho)V\gt\sigma S.$$ Из курса геометрии шаров и сфер нам стало известно, что объём и площадь поверхности шара определяются формулами$$V=\frac43\pi r^3, \qquad \qquad S=4\pi r^2.$$ Подставим \(V\) и \(S\) в последнее неравенство и сократим его на \(4\pi r^2\). В результат этих действий получим$$(\rho_0-\rho)\frac r3\gt\sigma.$$Отсюда$$r\gt\frac{3\sigma}{\rho_0-\rho}.$$ Таким образом, минимальный радиус шара, при котором он сможет подниматься, равен$$r_{min}=\frac{3\sigma}{\rho_0-\rho}.$$ Подставим в формулу (1) выражение для объёма \(V\) и площади поверхности \(S\) найдём минимальную массу.$$m_{min}=4\pi r_{min}^2\left(\sigma +\frac{\rho r_{min}}3\right).$$ Подставим найденное значение минимального радиуса. После преобразования получим$$m_{min}=\frac{36\pi\rho\sigma^3}{(\rho_0-\rho)^3}.$$
Из этой формулы мы видим, для того чтобы подняться шар должен быть достаточно тяжёлым \((m\gt m_{min}).\) Лёгкий шар, масса которого меньше минимальной, не сможет подняться. Что в целом противоречит не только расхожему мнению, но и мнению Аристотеля, считавшего, что тяжёлые тела должны падать вниз, а лёгкие подниматься вверх. На данном примере мы видим, что всё происходит с точностью до наоборот.
Однако вернёмся к вычислению массы. Нам осталось посчитать плотность воздуха и гелия и подставить их в формулу массы. Из уравнения Клапейрно-Менделеева, плотность газа равна$$\rho=\frac mV=\frac{p\mu}{RT}.$$Тогда$$m_{min}=\frac{36\pi \mu R^2T^2\sigma^3}{p^2(\mu_0-\mu)^3}.$$Здесь: \(R=8,31\,Дж/К\cdot моль\) — универсальная газовая постоянная; \(\mu_0=0,029\,кг/моль\) — молярная масса воздуха; \(\mu=0,004\,кг/моль\) — молярная масса гелия.
Подставим значения в формулу минимальной массы и посчитаем её на калькуляторе.$$m_{min}=\frac{36\pi 0,004\,кг/моль \left(8,31\,Дж/Кмоль \right)^2(273\,К)^2\left(3\,кг/м^2 \right)^3}{\left(10^5\,Па\right)^2\left(0,029\,кг/моль-0,004\,кг/моль\right)^3}=402,33\,кг.$$ Ответ: \(m_{min}=402\,кг\).
Итак, минимальная масса воздушного шара равна почти полтонны!
ЗАДАЧА. Какая установится температура в калориметре, если в него поместить лёд при \(0^oC\) и пар при \(100^oC\) одинаковой массы?
Дано: \(c=4200\,Дж/(кг\cdot K)\); \(\lambda=3,3\cdot10^5\,Дж/кг\); \(T_1=0^oC=273\,К\); \(r=2,3\cdot10^6\,Дж/кг\); \(T_2=100^oC=373\,К\).
Найти: \(T=?\)
Решение.
При конденсации пара выделяется тепло$$Q_п=mr=2,3\cdot10^6m.$$
При плавлении льда поглощается тепло $$Q_л=m\lambda=3,3\cdot10^5m.$$$$Q_п>Q_л.$$
Следовательно, энергии пара хватит чтобы полностью расплавить лёд. Найдём, сколько потребуется тепла для нагревания растаявшей воды до температуры пара.$$Q_в=mс(T_2-T_1)=m\cdot4200\cdot100=4,2\cdot10^5m.$$ Сравнивая найденные величины, находим, что
$$Q_л+Q_в=m\lambda+mс(T_2-T_1)=7,5\cdot10^5m\lt2,3\cdot10^6m=Q_п.$$ Таким образом, теплота, выделившаяся при конденсации всего пара, значительно превосходит теплоту, необходимую для плавления всего льда и доведения растаявшей воды до температуры кипения. Из чего следует, что только часть теплоты всего пара понадобится для плавления льда и доведения воду до температуры \(100^oC,\) а значит какая-то часть пара останется. Но пар и вода могут находится в калориметре только при \(100^oC.\)
Ответ: \(T=100^oC.\)
ЗАДАЧА. Найти массу пара, находящегося при температуре \(100^oC\), необходимую для того, чтобы полностью растопить лёд массой \(1 \,кг,\) находящийся при \(0^oC?\)
Дано: \(m=1кг\); \(T_1=0^oC\); \(\lambda=3,3\cdot10^5\,Дж/кг\); \(r=2,3\cdot10^6\,Дж/кг\); \(T_2=100^oC\).
Найти: \(m_п=?\)
Решение.
При конденсации пара выделяется тепло \(Q_п=m_пr.\) Кроме этого, при остывании воды выделится ещё \(Q_в=m_пct=100m_пc.\) Совокупное тепло, полученное от пара равно: \(Q=Q_п+Q_в=m_п(r+100c).\) При плавлении льда поглощается тепло \(Q_л=m\lambda.\) Из уравнения теплового баланса получаем: \(Q=Q_л\) или \(m_п(r+100c)=m\lambda.\) Отсюда$$m_п=\frac{m\lambda}{r+100c}.$$ Подставим данные и посчитаем.$$m_п=\frac{1кг\cdot3,3\cdot10^5Дж/кг}{2,3\cdot10^6Дж/кг+100\cdot4200Дж/кг}=0,121\,кг=121\,гр.$$ Ответ: \(m_п=121\,гр.\)
ЗАДАЧА. Найти массу пара, находящегося при температуре \(100^oC\), необходимую для того, чтобы полностью растопить лёд массой \(1\, кг\), находящийся при температуре \(0^oC,\) и полученную воду довести до кипения?
Дано: \(m=1кг\); \(T_1=0^oC\); \(c=4200\,Дж/(кг\cdot K)\); \(\lambda=3,3\cdot10^5\,Дж/кг\); \(r=2,3\cdot10^6\,Дж/кг\); \(T=100^oC\).
Найти: \(m_п=?\)
Решение.
При конденсации пара выделяется тепло \(Q_п=m_пr.\) При плавлении льда и последующем нагревании растаявшей воды поглощается тепло $$Q=m\lambda+mc(T_2-T_1).$$ Из уравнения теплового баланса получаем: \(Q_п=Q\) или$$m_пr=m\lambda+mc(T_2-T_1).$$Отсюда$$m_п=\frac{m(\lambda+c(T_2-T_1)}r.$$ Подставим данные и посчитаем.$$m_п=\frac{1кг\cdot(3,3\cdot10^5Дж/кг+4200Дж/(кг\cdot К)\cdot 100^oC)}{2,3\cdot10^6Дж/кг}=0,326\,кг=326\,гр.$$ Ответ: \(m_п=326\,гр.\)
ЗАДАЧА. Найти радиус металлического шара, электрическая ёмкость которого равна \(1\,Ф.\)
Дано: \(C=1\,Ф.\) Найти: \(R=?\)
Решение.
Электрическая ёмкость сферического конденсатора определяется соотношением$$C=\frac q\varphi=4\pi\varepsilon_0 R.$$ Отсюда радиус металлического шара равен $$R=\frac C{4\pi\varepsilon_0}=\frac {1\,Ф}{4\pi8,85\cdot10^{-12}\,Ф/м}=9\cdot10^9\,м.$$ Ответ: \(R=9\cdot10^9\,м.\)
Это 9 миллионов километров! Много это или мало судите сами. Например, это в 1411 раз больше радиуса Земли, и в 23,4 раза больше, чем расстояние от центра Земли до центра Луны! Земля в сравнении с этим шаром меньше микрофарады.
ЗАДАЧА. Найти длину стороны квадратных пластин, расположенных на расстоянии 1 метр друг от друга и составляющих плоский конденсатор, электрическая ёмкость которого равна \(1\,Ф.\)
Дано: \(C=1\,Ф;\) \(d=1\,м.\) Найти: \(a=?\)
Решение.
Электрическая ёмкость плоского конденсатора равна$$C=\frac{\varepsilon_0S}d,$$где \(S=a^2\) — площадь каждой квадратной пластины.
Таким образом$$C=\frac{\varepsilon_0a^2}d.$$
Отсюда длина стороны пластины равна $$a=\sqrt{\frac{Cd}{\varepsilon_0}}=\sqrt{\frac{1Ф\cdot1м}{8,85\cdot10^{-12}\,Ф/м}}=336146\,м.$$ Ответ: \(a=336\,км.\)
Если электроёмкость конденсатора составляет 1 фараду, то его размеры огромны. Даже если мы уменьшим расстояние между платинами до 1 миллиметра, то его размеры будут составлять 10 километров 630 метров. А если пластины сблизить до толщины одного листа офисной бумаги, поместив между ними бумагу, чтобы металлические платины не касались друг друга, то размеры такого конденсатора будут равны 2 километра 226 метров. Вот что такое фарада, и вот почему конденсаторов с электрической ёмкостью в одну фараду не существует.
Формулы по физике
