Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.
=
Введите коэффициенты и длины векторов. Если перед p или q ничего не стоит или стоит +, то оставьте в соответствующем окошке единицу. Если стоит число, то поставьте это число. Если стоит отрицательное число, то ставьте отрицательное число. Если длина вектора не целая, то ставьте десятичную дробь. Например, вместо 1/5 ставьте 0.2, а вместо 1/2 ставьте 0.5. Заметьте, дробная часть отделяется точкой, а не запятой.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\) равна$$S=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot sin\gamma.$$Здесь \(|\vec a|, \, |\vec b|\) — длины векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) соответственно, а \(\gamma\) — угол между векторами.
С другой стороны длина векторного произведения векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равна$$|[\vec a,\, \vec b]|=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot sin\gamma.$$ Исходя из сказанного получается, что площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\) равна длине векторного произведения: \(S=|[\vec a,\, \vec b]|.\) Следовательно, чтобы найти площадь параллелограмма нужно сначала найти векторное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b.\) Но в нашем случае вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) выражеы через вектора \(\vec p, \, \vec q,\) их длины у гол межды ними. Поэтому мы можем найти векторное произведение векторов \(\vec p\) и \(\vec q\) по формуле$$|[\vec p,\, \vec q]|=|\vec p|\cdot|\vec q|\cdot sin\left(\widehat{\vec p,\vec q}\right).$$ Воспользовавшись свойствами векторного произведения сможем найти и \([\vec a, \,\vec b].\) Имеются в виду следующие свойства векторного произведения:
1) Дистрибутивность$$[\vec a+\vec b,\, \vec c]=[\vec a,\, \vec c]+[\vec b,\, \vec c]; \qquad \qquad[\vec a,\, \vec b+\vec c]=[\vec a,\, \vec b]+[\vec a,\, \vec c];$$
2) Ассоциативность$$[\alpha\cdot\vec a, \, \vec b]=\alpha[\vec a,\, \vec b]; \qquad \qquad[\vec a,\, \beta\cdot\vec b]=\beta[\vec a,\, \vec b];$$
3) Антикоммутативность $$[\vec b, \, \vec a]=-[\vec a,\, \vec b];$$
4) Нильпотентность $$[\vec a, \, \vec a]=0;$$ На основании этих свойств можем выразить векторное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) через векторное произведение векторов \(\vec p\) и \(\vec q.\) Действительно, пусть $$\vec a=a_1\vec p+a_2\vec q\qquad \qquad и \qquad \qquad \vec b=b_1\vec p+b_2\vec q.$$ Тогда, на основании свойств дистрибутивности и ассоциативности, векторное произведение запишется$$[\vec a,\, \vec b]=[a_1\vec p+a_2\vec q,\, b_1\vec p+b_2\vec q]=a_1b_1[\vec p,\, \vec p]+a_1b_2[\vec p,\, \vec q]+a_2b_1[\vec q,\, \vec p]+a_2b_2[\vec q,\, \vec q].$$ На основании свойства 4) получаем \([\vec p,\, \vec p]=[\vec q,\, \vec q]=0,\) и, следовательно,$$[\vec a,\, \vec b]=a_1b_2[\vec p,\, \vec q]+a_2b_1[\vec q,\, \vec p].$$ На основании антикоммутативности \([\vec q,\,\vec p]=-[\vec p,\, \vec q],\) поэтому$$[\vec a,\, \vec b]=a_1b_2[\vec p,\, \vec q]-a_2b_1[\vec p,\, \vec q]=(a_1b_2-a_2b_1)[\vec p,\, \vec q].$$ Тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\) равна$$S=|[\vec a,\,\vec b]|=|(a_1b_2-a_2b_1)[\vec p,\, \vec q]|=|a_1b_2-a_2b_1|\cdot|[\vec p,\, \vec q]|.$$ Используя формулу длины векторного произведения, получим$$S=|a_1b_2-a_2b_1|\cdot|\vec p|\cdot|\vec q|\cdot sin\left(\widehat{\vec p,\vec q}\right).$$ Можете подставить свои значения в последнюю формулу и посчитать. Так вы найдёте площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\).
Транспонирование матриц ОНЛАЙН
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ОНЛАЙН
Найти косинус угла между векторами ОНЛАЙН
Найти длину вектора ОНЛАЙН
Решить квадратное уравнение ОНЛАЙН