Начался новый учебный год. Для старшеклассников в жизни наступил решающий период. От того как будет сдан Единый государственный экзамен зависит очень многое. Подготовиться к экзамену и сдать его на высокий балл поможет репетитор по математике. Также репетитор по математике в Калининграде поможет подготовиться к Основному Государственному Экзамену (ОГЭ) и Единому Государственному Экзамену (ЕГЭ). Разберём решение всех задач из сборников ЕГЭ и ОГЭ, а также заданий, которые были на реальных экзаменах прошлых лет. Все занятия проводятся индивидуально, так как индивидуальные занятия более эффективны, чем занятия в группе или классе. У нас имеются все необходимые методические пособия и соотвествующие наработки. С каждым ребёнком работаем в соответствии с его индивидуальными способностями и особенностями.
Поможем подготовиться к контрольным работам и онлайн тестированию. Поможем справиться с домашними заданиями и повысить успеваемость. Проконсультирем по всем вопросам из любого раздела школьной математики. Решим задачи ЕГЭ и ОГЭ любого уровня сложности. Имеются наработки и методические материалы.
Занятия проводит опытный репетитор по математике преподаватель физики и математики кандидат наук. Опыт работы более 20 лет. Стаж преподавания в ВУЗе 20 лет. Опыт индивидуальных занятий и репетиторства более 20 лет.
Занятия проходят в центре города Калининград. Стоимость часового занятия (60 минут) составляет 
рублей. Телефон 
.
Чего мы сможем добиться при регулярных занятиях?
Ребёнок перестанет бояться уроков математики и будет с удовольствием их посещать;
Успеваемость ребёнка по математике значительно повысится и математика станет одним из любимейших предметов;
Школьник научится решать задачи по математике любой сложности;
Подготовимся к ОГЭ по математике;
Подготовимся к ЕГЭ по математике;
При желании подготовимся к олимпиаде по математике;
Подготовимся к поступлению в высшее учебное заведение: университет или институт.
Репетитор по математике набирает учеников для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ в Калининграде. Чтобы записаться на пробное занятие позвоните по телефону . Пробное занятие платное.
Задачи по математике из сборника заданий ЕГЭ профильного уровня за 2026 г
под редакцией И. В. Ященко
Задача 13.
а) Решите уравнение \[sin^4\frac x4-cos^4\frac x4=cos\left(x-\frac{3\pi}2\right).\] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi; -\pi]\).
Решение.
A) Перепишем левую часть уравнения используя формулу разности квадратов.\[\left(sin^2\frac x4-cos^2\frac x4 \right)\cdot \left(sin^2\frac x4+cos^2\frac x4 \right)=cos\left(x-\frac{3\pi}2\right).\] Используя основное тригонометрическое тождество \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) и формулу для косинуса двойного угла \(cos^2\alpha-sin^2\alpha=cos 2\alpha\), получим при \(\alpha=x/4\) \[sin^2\frac x4-cos^2\frac x4=-\left(cos^2\frac x4-sin^2\frac x4 \right)=-cos\frac x2,\]\[sin^2\frac x4+cos^2\frac x4=1.\] Тогда уравнение запишется в следующем виде.\[-cos\frac x2=cos\left(x-\frac{3\pi}2\right).\] По формуле приведения получаем \(cos\left(x-\frac{3\pi}2\right)=-sinx\). Тогда наше уравнение с помощь формулы синуса двойного угла запишется в виде \[-cos\frac x2=-sin x=-sin\left(2\cdot \frac x2\right)=-2\cdot sin\left(\frac x2\right)\cdot cos\left(\frac x2\right),\] или после переноса в виде \[2\cdot cos\frac x2 \cdot \left(sin\left(\frac x2\right)-\frac12\right)=0.\] Отсюда \[cos\frac x2 =0 \qquad или \qquad sin\left(\frac x2\right)-\frac12=0.\] Следовательно, получается две серии корней. Из первого уравнения имеем корни \[\frac x2 =\frac{\pi}2+\pi k \qquad или \qquad x=\pi+2\pi k, \qquad где \qquad k \in \mathbb Z .\] Из второго уравнения \[sin\left(\frac x2\right)=\frac12\] получим решения \[\frac x2=(-1)^n\cdot arcsin \frac 12 +\pi n=(-1)^n\frac{\pi}6 +\pi n\] или \[x=(-1)^n\frac{\pi}3 +2\pi n, \qquad где \qquad n \in \mathbb Z .\] Б) Произведём отбор корней. Существуют разные способы отбора корней. Рассмотрим два из них для двух серий корней. Для первой серии \[x=\pi+2\pi k \in [-4\pi; -\pi] \qquad или \qquad -4\pi \le \pi+2\pi k \le -\pi.\] Разделим все части последнего неравенства на \(\pi\). Получим \(-4 \le 1+2k \le -1\) и вычтем 1. Тогда \(-5 \le 2k \le -2\) или \(-2,5 \le k \le -1\), то есть, с учётом того, что \(k\) целое, получим \(k=-2\) или \(k=-1\). Тогда искомые решения из заданного промежутка: \(x=-3\pi\) и \(x=-\pi\).
Корни второй серии \[x=(-1)^n\frac{\pi}3 +2\pi n\] будем отбирать перебором.
При неотрицательных значениях \(n\) корни будут положительными и не попадают в заданный промежуток \([-4\pi; -\pi]\). Рассмотрим отрицательные корни: \[n=-1 \qquad x=-\frac{\pi}3 -2\pi=-\frac{7\pi}3 \in [-4\pi; -\pi];\]\[n=-2 \qquad x=\frac{\pi}3-4\pi= -\frac{11\pi}3 \in [-4\pi; -\pi];\]\[n=-3 \qquad x=-\frac{\pi}3 -6\pi -\frac{19\pi}3 \notin [-4\pi; -\pi];\] Очевидно при \(n\lt-3\) корни уже не будут попадать в заданный промежуток \([-4\pi; -\pi]\). Осталось записать ответ.
Ответ. а) \[x=\pi+2\pi k, \qquad k \in \mathbb Z ; \qquad \qquad x=(-1)^n \pi/3 +2\pi n, \qquad n \in \mathbb Z .\]
б) \[-\frac{11\pi}3, \qquad -3\pi, \qquad -\frac{7\pi}3, \qquad -\pi.\]
Репетитор по математике в Калининграде приглашает на занятия. Для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике, а также для повышения успеваемости по математике записывайтесь на пробное занятие по телефону
