В 1918 г. 25-летний француз Гастон Жюлиа (1893-1978) залечивал свои раны в госпитале. Изнывая от безделья, молодой Жюлиа заинтересовался поведением точки последовательности
zn+1 = zn2 + C
на комплексной плоскости. Гастон пришёл к выводу, что последовательность точек может вести себя по-разному. Точка последовательности zn может уходить в бесконечность либо может стремиться к некоторой конечной точке комплексной плоскости, называемой аттрактором. То есть аттрактор это точка притяжения итерационного процесса или предел последовательности. Множество всех точек плоскости с конечными аттракторами называется множеством Жюлиа.
Вид множества Жюлиа зависит от значения параметра C. При C = 0 последовательность точек zn+1 = zn2 сходится: либо к нулю при ; либо к бесконечности при . Таким образом, при C = 0 множество Жюлиа представляет собой круг с центром в начале координат и радиусом 1.
На рисунке а) изображено множество Жюлиа при C = 0,27334+0,00742·i, а на рисунке б) при C = −1,25.
При C = -0,74543+0,11301·i, множество Жюлиа превращается в причудливую ломаную линию
В сказочный ковёр превращается множество Жюлиа при C = i
При некоторых значениях C множество Жюлиа теряет связность и рассыпается на множество мелких осколков. Такие множества Жюлиа называются пылью Фату.
Множеством Мандельброта называется множество всех точек C, при которых множество Жюлиа связно.
В его основе лежит кардиоида с вершинами на вещественной оси в точках 0,25 и -0,75 и круг радиуса 0,25 с центром в точке -1. Множество Мандельброта облеплено почками, наростами и причудливыми усами. Эти почки и наросты в свою очередь облеплены более мелкими почками и так далее.
При более сильном увеличении в окрестностях границ множества Мандельброта обнаруживаются уменьшенные копии самого множества Мандельброта.
Андриен Дуади и Дж. Хаббард доказали, что множество Мандельброта связно.
По материалам книги: Волошинов А.В. Математика и искусство. -М.: Просвещение, 2000г.
; либо к бесконечности при 
. Таким образом, при