Модифицированное правило Саррюса
Решение задач по физике
|
|
На вопрос о том, какое с высоты \( h \) обычно в качестве ответа приводится формула $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t = \sqrt{{2h} \over g}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1) $$ известная из школьного учебника физики. В этой формуле \( g = 9,8 \, м/с^2 \) — на поверхности Земли. Но проблема в том, что с высотой ускорение свободного падения меняется, а значит время падения будет больше, чем то, которое получается по вышеуказанной формуле. В этой статье решается задача о нахождении времени падения тела с высоты. Сразу оговоримся, сопротивление воздуха не учитываем. То есть ищется без учёта её атмосферы или на какую-либо планету, у которой отсутствует атмосфера.
![](physics/fall_time/0.jpg)
Картинка взята отсюда. Рассмотрим тело массы \(m\), падающее с высоты \(h\) на поверхность некоторой планеты массы \(M\) и радиуса \(R\). Тело падает без начальной скорости. Будем считать планету неподвижной и предполагать, что поблизости нет других планет, которые могут повлиять на движение тела и планеты. Расстояние от центра планеты до тела в начальный момент равно \(H = R + h\). Расстояние от центра планеты до тела в момент времени обозначим через \(r\). Тогда \( R \le r \le H \). На тело действует только сила притяжения со стороны планеты $$ F = \gamma {{Mm} \over r^2} . $$ Согласно второму закону Ньютона $$ F = {m \cdot a}. $$ где \( a = - d^2 r / dt^2 \) — центростремительное ускорение. Подставляя выражение для силы \(F\) и ускорения \(a\) во второй закон Ньютона, получим $$ m {{d^2 r} \over {dt^2}} = \gamma {{Mm} \over r^2 }, $$ или после сокращения на \(m\) и преобразования $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {{d^2 r} \over {d t^2}} = - g { R^2 \over r^2 } . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ Здесь \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности планет. Как известно $$ g = \gamma { M \over R^2}. $$ Перепишем дифференциальное уравнение (2) в виде $$ \ddot r = -g {R^2 \over r^2}. $$ Понизим порядок уравнения при помощи замены \( \dot r =z(r) \). Тогда вторая производная \( \dot r = z' \cdot z \) и уравнение запишется $$ {{dz} \over {dr}}z =-g {R^2 \over r^2}. $$ Разделим переменные и интегрируем $$ \int {zdz} = -gR^2 \int {{dr} \over r^2}. $$ Вычисляя интегралы в левой и правой части последнего выражения, получим $$ {z^2 \over 2} = {{gR^2} \over r} + C. $$ В начальный момент времени: \(r=H\) и \( z= \dot r = 0\). Подставляя в последнее выражение, для произвольной постоянной \(C\) получим $$ С = -{ {2gR^2} \over H}. $$ Тогда $$ {z^2 \over 2} = {{gR^2} \over r} -{ {gR^2} \over H} $$ или $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {{dr} \over {dt}} = \sqrt {{{2gR^2} \over {rH}}(H-r)}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3) $$ так как \( z= \dot r = dr/dt \). Снова разделим переменные $$ \sqrt{r \over {H-r}} = \sqrt{{2gR^2} \over H } dt $$ и интегрируем $$ \int{\sqrt{r \over {H-r}}} = \sqrt{{2gR^2} \over H } t + C. $$ Сделаем замену $$ {r \over {H-r}} = y^2. $$ Тогда $$ r = {{Hy^2} \over {1+y^2}} $$ и $$ dr = {{2Hy} \over {\left( 1+y^2 \right) }}dy. $$ Интеграл запишется $$ \int{ \sqrt{r \over {H-r}}} = \int {y {{2Hy} \over {\left( 1+y^2 \right) }}dy}. $$ Воспользуемся формулой интегрирования по частям $$ \int{udv} = uv- \int{vdu} , $$ для этого обозначим $$ u = Hy, \qquad \qquad dv = {{2y} \over {\left( 1+y^2 \right)^2}} . $$ Тогда $$ du = Hdy, \qquad \qquad v = \int {dv} = \int {{{2y} \over {\left( 1+y^2 \right)^2}}dy} = - {1 \over {1+y^2 }} . $$ Интеграл запишется $$ \int {\sqrt {r \over {H-r}} dr} = -{{Hy} \over {1+y^2}} +H \int {{dy} \over { 1+y^2 }} = H arctg y - {{Hy} \over {1+y^2 }} . $$ Общее решение $$ H arctg y - {{Hy} \over {1+y^2 }} = \sqrt{{2gR^2} \over H } t + C. $$ С учётом выражения для \( y \) и ограничений значений арктангенса \( arctgy \le \pi /2 \) получим $$ \sqrt {r \cdot (H-r)} - H \cdot arctg \sqrt {r \over {H-r}} = \sqrt{{2gR^2} \over H } t + C. $$ Для определения постоянной \( C \) подставим начальное условия \( t=0 \) , \( r=H \). Получим \( C=-H \pi /2 \).
Таким образом, закон изменения радиус-вектора \( r \) от времени \( t \): $$ \sqrt {r \cdot (H-r)} - H \cdot arctg \sqrt {r \over {H-r}} = \sqrt{{2gR^2} \over H } t - {{H \pi} \over 2}. $$ Отсюда равно $$ t={1 \over R} \sqrt {H \over {2g}} \left( \sqrt {r \cdot (H-r)} + H \left( {\pi \over 2} - arctg \sqrt {r \over {H-r}} \right) \right) . $$ В момент падения на поверхность планеты, когда \( r=R , \; \; H-R=h \), $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t={1 \over R} \sqrt {{R+h} \over {2g}} \left( \sqrt {Rh} + (R+h) \left( {\pi \over 2} - arctg \sqrt {R \over h} \right) \right) . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (4) $$ В частности, когда \( h \gt \gt R \) и \( R \) можно пренебречь в сравнении с \( h \), получим $$ T_\infty = \sqrt {h \over {2g} } , $$ Поученное значение ровно в два раза меньше, чем значение, получаемое по формуле из школьного учебника физики. Для малых высот, когда \( h \gt \gt R \) и \( h \) можно пренебречь в сравнении с \( R \), получим $$ T = \sqrt { h \over {2g}} + \sqrt { R \over {2g}} \left( {\pi \over 2 } - arctg \sqrt {R \over h} \right). $$ На рисунке 1 представлены графики зависимости от высоты, полученные при помощи программы MathCad по формулам (1) и (4). Высоты взяты до ста километров. По оси абсцисс откладывается начальная высота падения в метрах, а по оси ординат время падения на поверхность в секундах. График, определяемый формулой (1) изображён красной линией, а график, определяемый формулой (4) изображён синей линией. Как видно из этих графиков, на высотах до 100 км классическая формула 1 даёт достаточно точное значение времени падения. Погрешность не превосходит 1,3%.
![](physics/fall_time/1.png)
Рисунок 1. Графики зависимости времени падания от высоты (для высот до 100 километров). На рисунке 2 представлены графики зависимости времени падения тела на Землю от высоты, которая не превосходит 10 тысяч километров. Как видно из этих графиков, на этих высотах , полученное по формуле (4), уже значительно отличается от времени падения, полученного по приближённой формуле (1).
![](physics/fall_time/2.png)
Рисунок 2. Графики зависимости времени падания от высоты (для высот до 10 тысяч километров).
Скорость падения камня на Землю определяется формулой (3), из которой при \( r=R \) получим $$ v = {{dr} \over {dt}} = \sqrt {{2gRh} \over {R+h}}. $$ Учитывая выражение для второй космической скорости \( V= \sqrt{2gR} \), скорость падения на Землю равна $$ v = V \cdot \sqrt { h \over {R+h}}. $$ Из последнего выражения делаем вывод, что скорость падения камня с любой высоты на Землю никогда не бывает больше, чем .
На рисунке 3 изображён график зависимости скорости падения тела на Землю от начальной высоты.
![](physics/fall_time/3.png)
Рисунок 3. График зависимости скорости падения тела на Землю от начальной высоты. Заметим, что формула из учебника физики может давать значения, значительно превышающие
вторую космическую скорость, что неверно.
|
|
|