На вопрос о том, какое время падения тела с высоты \( h \) обычно в качестве ответа приводится формула $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t = \sqrt{{2h} \over g}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1) $$известная из школьного учебника физики. В качественном решение задач по физике мы используем именно эту формулу. В этой формуле \( g = 9,8 \, м/с^2 \) — ускорение свободного падения, но в задачах ЕГЭ мы принимаем \(g = 10 \, м/с^2\). Так проще считать без калькулятора. На этой странице решаются задачи о нахождении времени падения тел с высоты. Сразу оговоримся, сопротивление воздуха не учитываем. То есть ищется время падения на землю без учёта сопротивления.
Задача. Найти время падения тела, брошенного с нулевой начальной скоростью с высоты останкинской телебашни, высота которой равна 500 метров.
Решение
По формуле (1) получаем $$t=\sqrt{\left(\frac{2h}g\right)}=\sqrt{\left(\frac{2\cdot500}{10}\right)}=\sqrt{100}=10с.$$ Ответ: \(t=10с\).
Если телу сообщить начальную скорость, направленную вниз, то уравнение движения примет вид$$y=h-v_0t-\frac{gt^2}2.$$ В момент падения на землю \(y=0\), и чтобы определить время падения, придётся решать квадратное уравнение$$\frac{gt^2}2+v_0t-h=0.$$ Найдём дискриминант $$D=v_0^2+2gh\gt0.$$Дискриминант положительный. Тогда время падения равно$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t=\frac{-v_0+\sqrt D}g=\frac{-v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}g.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ Дискриминант берётся со знаком “+”, так как время не бывает отрицательным, ибо такова природа времени.
Задача. Найти время падения тела, камня, брошенного с вершины Бурдж-Халифа вниз со скоростью 20 метров в секунду, если высота башни Бурдж-Халифа равна 848 метров.
Решение
Пдставив значения в формулу (2), получим
$$t=\frac{-v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}g=\frac{-20+\sqrt{20^2+2\cdot10\cdot848}}{10}=11,17 c.$$ Ответ: \(t=11,17 с\).
Если телу сообщить начальную скорость, направленную вверх, то уравнение движения примет вид$$y=h+v_0t-\frac{gt^2}2.$$ В момент падения на землю \(y=0\), поэтому, чтобы определить время падения, придётся решать квадратное уравнение$$\frac{gt^2}2-v_0t-h=0.$$ Дискриминант этого квадратного уравнения также положительный$$D=v_0^2+2gh\gt0.$$ Время падения тела на землю$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t=\frac{v_0+\sqrt D}g=\frac{v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}g.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3) $$ Здесь мы также взяли дискриминант со знаком “+”, так как время не может быть отрицательным.
Задача. Хуршед подбросил помидор вертикально вверх со скоростью 25 метров в секунду, находясь при этом на балконе девятого этажа, который расположен на высоте 27 метров. Найти время падения помидора на асфальт, если сопротивление воздуха отсутствует.
Решение
По формуле (3) найдём время падения:$$t=\frac{v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}g=\frac{25+\sqrt{25^2+2\cdot10\cdot27}}{10}=5,9 c.$$ Ответ: Время падения \(t=5,9 с\).
Не надо забывать, что ускорение свободного падения на различных планетах различное. Так, например, на Венере оно составляет 8,87 м/с^2 , а на Юпитере 24,79 м/с^2. Ускорение свободного падения определяется формулой$$g=G\frac M{R^2}.$$
и как видно зависит от массы планеты \(M\) и её радиуса \(R\).
Таким образом и время падения тела на разных планетах будет разным. Помните об этом.
Модифицированное правило Саррюса