ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ
Альтернатива интегрированию по частям
Метод интегрирования дифференцированием основан на определении неопределённого интеграла, из которого следует, что производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. Суть метода сводится к дифференцированию подходящего выражения, соответствующего подынтегральной функции. Вместо того, чтобы интегрировать выражение, что не всегда бывает просто, дифференцируется подходящее выражение с неопределёнными коэффициентами, предположительно соответствующее искомому интегралу. Затем полученная производная приравнивается к подынтегральному выражению и из полученного равенства находятся значения неопределённых коэффициентов. Подстановка найденных коэффициентов в принятое выражение, превращает его в искомый интеграл.
Метод интегрирования дифференцированием — это один из методов неопределённых коэффициентов, применяемый для более широкого класса интегралов. Близким к нему является метод определения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Метод интегрирования дифференцированием может быть применён для достаточно широкого класса интегралов, однако наиболее эффективно, если угодно наиболее эффектно, его применение для интегралов, традиционно вычисляемых с помощью формулы интегрирования по частям. Особенно в тех случаях, когда требуется неоднократное применение этой формулы. Уже единичное применение формулы интегрирования по частям, предполагает нахождение двух интегралов. В случае же двукратного или троекратного применения этой формулы количество интегралов, которые требуется найти, увеличивается и задача нахождения неопределённого интеграла по формуле интегрирования по частям становится весьма трудоёмкой. В случае интегрирования дифференцированием интеграл находится без использования интегрирования, без единого так сказать интеграла. Что может весьма удобным, особенно в тех случаях, когда нахождение интеграла затруднено по объективным или субъективным причинам. Разумеется, предлагаемый метод интегрирования не является всеобъемлющим несмотря на то, что область его применимости покрывает значительную часть области применимости формулы интегрирования по частям. Однако, как хорошо известно каждому студенту и каждому математику, таких универсальных методов, которые бы позволили взять любой интеграл, просто не существует. Фактически метод интегрирования дифференцированием является более рациональной альтернативой формуле интегрирования по частям, однако область его применения не ограничивается областью применения этой формулы.
Интегралы, берущиеся методом интегрирования дифференцированием:
$$\int e^{\alpha x} sin\beta xdx, \; \int e^{\alpha x} cos\beta xdx, \; \int x^ne^{kx}dx, \; \int x^n sin\beta xdx, \; \int x^n cos\beta xdx, \; \int x^nlnkxdx, \; \int x^nsh\beta xdx, \; \int x^n ch\beta xdx, $$$$\int P_n(x)e^{kx}dx, \; \int P_n(x)cos\beta xdx, \; \int P_n(x)sin\beta xdx, \; \int P_n(x)ch\beta xdx, \; \int P_n(x)sh\beta xdx,$$$$ \int sh(\alpha x)sin(\beta x)dx, \; \int sh(\alpha x)cos(\beta x)dx, \; \int ch(\alpha x)sin(\beta x)dx, \; \int ch(\alpha x)cos(\beta x)dx,$$а также ряд других интегралов.
Рассмотрим применение метода интегрирования дифференцирование на нескольких примерах.
Пример 1. Найти интеграл$$\int e^{\alpha x} sin\beta xdx.$$ Традиционно, при решении этого интеграла, формула интегрирования по частям применяется дважды, после чего из полученного уравнения извлекается выражение для интеграла. Предлагаемый метод позволяет это сделать значительно проще. Учитывая известные интегралы от экспоненты и тригонометрических функций логично предположить, что искомый интеграл имеет следующий вид:$$\int e^{\alpha x} sin\beta xdx=Ae^{\alpha x} sin\beta x+Be^{\alpha x}cos\beta x+C.$$ Из определения неопределённого интеграла следует, что производная интеграла равна подынтегральному выражению. Продифференцируем выражение, стоящее в правой части, и приравняем полученное выражение его подынтегральной функции. Получим$$\left(Ae^{\alpha x} sin\beta x+Be^{\alpha x}cos\beta x+C\right)'=$$$$=A\alpha e^{\alpha x} sin\beta x+A\beta e^{\alpha x}cos\beta x+B\alpha e^{\alpha x}cos\beta x-B\beta e^{\alpha x}sin\beta x=$$$$=e^{\alpha x} sin\beta x.$$ Приводя подобные и приравнивая коэффициенты при соответствующих выражениях, получим$$\left(A\alpha-B\beta\right)e^{\alpha x} sin\beta x+\left(A\beta+B\alpha\right)e^{\alpha x}cos\beta x=e^{\alpha x} sin\beta x,$$и$$\begin{cases}A\alpha-B\beta=1,\\ A\beta+B\alpha=0.\end{cases}$$ Решая ситему относительно \(A\) и \(B\), получим$$A=\frac\alpha{\alpha^2+\beta^2}, \quad B=\frac{-\beta}{\alpha^2+\beta^2}.$$ Полставим найденные выражения для \(A\) и \(B\) в исходное предполагаемое выражение интеграла. Тогда искомый интеграл запишется в виде$$\int e^{\alpha x} sin\beta xdx=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\left(\alpha sin\beta x-\beta cos\beta x\right)+C.$$ Аналогичным образом берётся интеграл$$\int e^{\alpha x} cos\beta xdx=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\left(\alpha cos\beta x+\beta sin\beta x\right)+C.$$
Пример 2. Найти неопределённый интеграл$$\int x^3e^{kx}dx.$$ Обычно, для нахождения такого интеграла трижды применяется формула интегрирования по частям. Предлагаемый метод позволяет обойтись без этих излишеств. Учитывая, что интеграл и производная экспоненциальной функции есть также экспоненциальная функция, а производная степенной функции есть степенная функция, будем искать интеграл в виде:$$\int x^3e^{kx}dx=\left(Ax^3+Bx^2+Cx+D\right)e^{kx}.$$ Приравняем производную от правой части последнего уравнения подынтегральной функции.$$\left(\left(Ax^3+Bx^2+Cx+D\right)e^{kx}\right)'=\left(3Ax^2+2Bx+C\right)e^{kx}+\left(Ax^3+Bx^2+Cx+D\right)ke^{kx}=$$$$=\left(3Ax^2+2Bx+C+kAx^3+kBx^2+kCx+kD\right)e^{kx}=$$$$=\left(kAx^3+(kB+3A)x^2+(kC+2B)x+(kD+C)\right)e^{kx}=x^3e^{kx}.$$ Разделим полученное равенство на \(e^{kx}\) и приравняем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях слева и справа$$\begin{cases}kA=1,\\kB+3A=0,\\kC+2B=0,\\kD+C=0.\end{cases}$$
Отсюда$$ A=\frac1k; \quad B=-\frac{3A}k=-\frac3{k^2}; \quad C=-\frac{2B}k=\frac6{k^3}; \quad D=-\frac Ck=-\frac6{k^4}.$$ Искомый интеграл запишется$$\int x^3e^{kx}dx=\left(\frac{x^3}k-\frac{3x^2}{k^2}+\frac{6x}{k^3}-\frac6{k^4}\right)e^{kx}+C.$$ Метод интегрирования дифференцированием позволяет аналогичным образом найти любой интеграл вида$$\int P_n(x)e^{kx}dx,$$где \(P_n(x)\) — некоторый многочлен от \(x\) степени \(n.\) Для этого искомый интеграл нужно представить в виде$$\int P_n(x)e^{kx}dx=Q_n(x)e^{kx}.$$Здесь \(Q_n(x)\) — произвольный многочлен той же степени \(n,\) что и \(P_n(x).\)$$Q_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=\sum_{i=0}^na_nx^n.$$ В конце интеграла ставится произвольная постоянная \(C.\)
Пример 3. Найти неопределённый интеграл$$\int x^nln(kx)dx.$$ Производная логарифма равна \(1/x,\) интеграл от степенной функции есть степенная функция. Поэтому интеграл ищем в виде$$\int x^nln(kx)dx=Ax^{n+1}ln(kx)+Bx^{n+1}+C.$$ Применим метод интегрирования дифференцированием.$$\left(Ax^{n+1}ln(kx)+Bx^{n+1}+C\right)'=A(n+1)x^nln(kx)+Ax^n+(n+1)Bx^n=x^nln(kx).$$$$A(n+1)=1; \quad A+B(n+1)=0.$$$$A=\frac1{n+1}; \qquad B=-\frac A{n+1}=-\frac1{(n+1)^2}.$$ Искомый интеграл запишется$$\int x^nln(kx)dx=\frac{x^{n+1}ln(kx)}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C.$$В частности$$\int ln(x)dx=xln(x)-x+C.$$
Пример 4. Найти неопределённый интеграл$$\int x^2coskxdx.$$ Для нахождения такого интеграла дважды применяют формулу интегрирования по частям. Применим интегрирование дифференцированием. Учитывая, что при интегрировании косинуса получается синус, будем искать интеграл в виде:$$\left(Ax^2+Bx+C\right)coskx+\left(Dx^2+Fx+E\right)sinkx.$$ Производная интеграла$$\left(Ax^2+Bx+C\right)'coskx+\left(Dx^2+Fx+E\right)'sinkx+\left(Ax^2+Bx+C\right)\left(coskx\right)'+\left(Dx^2+Fx+E\right)\left(sinkx\right)'=$$$$=\left(2Ax+B\right)coskx+\left(2Dx+F\right)sinkx+\left(Ax^2+Bx+C\right)(-k)sinkx+\left(Dx^2+Fx+E\right)kcoskx=$$$$=\left(2Ax+B+kDx^2+kFx+kE\right)coskx+\left(2Dx+F-kAx^2-kBx-kC\right)sinkx=x^2coskx.$$ Приравняем многочлены, стоящие перед косинусами, и многочлены, стоящие перед синусами.$$\begin{cases}2Ax+B+kDx^2+kFx+kE=x^2,\\2Dx+F-kAx^2-kBx-kC=0.\end{cases}$$ Приравняем коэффициенты, стоящие при соответствующих степенях.$$\begin{cases}kD=1,\\2A+kF=0,\\B+kE=0,\\kA=0,\\2D-kB=0,F-kC=0.\end{cases}$$Отсюда:$$A=0; \quad D=\frac1k; \quad B=\frac{2D}k=\frac2{k^2}; \quad E=-\frac Bk=-\frac2{k^3}; \quad C=0; \quad F=0.$$ Искомый интеграл запишется$$\int x^2coskxdx=\frac{2x}{k^2}coskx+\left(\frac{x^2}k-\frac2{k^3}\right)sinkx+C.$$ Аналогичным образом находятся интегралы$$\int P_n(x)coskxdx, \qquad \int Q_m(x)sinlxdx,$$где \(P_n(x), \; Q_m(x)\) — некоторые многочлены.
Пример 5. Найти интеграл$$\int ch(\alpha x)sin(\beta x)dx.$$ Этот интеграл, как и самый первый интеграл, берётся по формуле интегрирования по частям, которая применяется дважды. Из полученного уравнения выражается интеграл. Метод интегрирования дифференцированием позволяет найти этот интеграл легко и просто. Ищем интеграл в виде$$\int ch\alpha x sin\beta xdx=Ach\alpha x cos\beta x+Bsh\alpha x cos\beta x+Cch\alpha x sin\beta x+Dsh\alpha x sin\beta x.$$
Производная интеграла$$A\alpha sh\alpha x cos\beta x-A\beta ch\alpha x sin\beta x+B\alpha ch\alpha x cos\beta x-B\beta sh\alpha x sin\beta x+\qquad\qquad\qquad$$$$\qquad\qquad\qquad+C\alpha sh\alpha x sin\beta x+C\beta ch\alpha x cos\beta x+D\alpha ch\alpha x sin\beta x+D\beta sh\alpha x cos\beta x.$$ Приведём подобные и приравняем к подынтегральной функции$$\left(A\alpha+D\beta\right)sh\alpha x cos\beta x+\left(D\alpha-A\beta\right)ch\alpha x sin\beta x+\qquad\qquad\qquad$$$$\qquad\qquad\qquad+\left(B\alpha+C\beta\right)ch\alpha x cos\beta x+\left(C\alpha-B\beta\right)sh\alpha x sin\beta x=ch\alpha x sin\beta x.$$ Отсюда со всей очевидностью следует, что$$\begin{cases}A\alpha+D\beta=0,\\D\alpha-A\beta=1,\\B\alpha+C\beta=0,\\C\alpha-B\beta=0.\end{cases}$$ Решая систему получим$$A=-\frac\beta{\alpha^2+\beta^2}, \qquad B=C=0, \qquad D=\frac\alpha{\alpha^2+\beta^2}.$$ Тогда искомый интеграл запишется$$\int ch\alpha x sin\beta xdx=\frac{\alpha sh\alpha xsin\beta x-\beta ch\alpha xcos\beta x}{\alpha^2+\beta ^2}+const.$$ Аналогичным образом ищется интеграл$$\int ch\alpha x cos\beta xdx=\frac{\beta ch\alpha xsin\beta x+\alpha sh\alpha xcos\beta x}{\alpha^2+\beta ^2}+C$$и интегралы$$\int sh\alpha x cos\beta xdx,\qquad \int sh\alpha x sin\beta xdx.$$
При интегрировании дифференцированием нет необходимости делать проверку, как это рекомендуется в случае интегрирования другими способами, так как дифференцирование выражения уже предполагает проверку, как бы получается два в одном, и нахождение интеграла и его проверка дифференцированием.
Итак, мы убедились, что метод интегрирования дифференцированием охватывает, практически все случаи применения формулы интегрирования по частям. Даже однократное применение формулы интегрирования по частям предполагает вычисление двух интегралов. Интегрирование по частям во многих случаях предполагает неоднократное использование формулы интегрирования по частям, что является весьма неудобным, в особенности для тех, кто по каким-либо причинам не умеет или не любит заниматься интегрирование. Являясь более простым и менее трудоёмким, метод интегрирования дифференцированием, фактически, упраздняет формулу интегрирования по частям, делая её больше не актуальной для интегрирования многих выражений, которые традиционно интегрировались с использованием этой формулы.
Как уже было сказано выше, метод не является универсальным, применимым для любых функций и любых подынтегральных выражений. Но ведь таких универсальных методов, пригодных, так сказать на все случаи жизни, в математике не существует. Более того некоторые интегралы вообще не берутся. Метод интегрирования дифференцированием имеет свою область применимости, охватывающую значительную часть области применимости метода интегрирования по частям, но как уже было сказано и продемонстрировано выше, данный метод предоставляет более удобный, интуитивно более понятный и менее трудоёмкий способ нахождения интегралов.