Задача 16. Найти решение задачи Коши.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        16.19. Найти решение задачи Коши. $$y'' + 16y = {16 \over \cos 4x},$$ $$ y(0) = 3, y'(0) = 0.$$

Решение.

        Данное дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение $$k^2 + 16 = 0.$$
        Это характеристическое уравнение имеет мнимые корни \(k = \pm i,\) которым соответствуют частные решения соответствующего однородного дифференциального уравнения: $$y_1 = \cos 4x, y_2 = \sin 4x.$$         Исходное неоднородное дифференциальное уравнение имеет общее решение, которое будем искать в виде: $$y (x) = C_1(x) \cdot y_1(x) + C_2(x) \cdot y_2(x),$$ или в виде $$y (x) = C_1(x) \cdot \cos 4x + C_2(x) \cdot \sin 4x.$$         По методу вариации произвольных постоянных получим следующие уравнения $$-4C_1' \cdot \sin 4x + 4C_2' \cdot \cos 4x = {16 \over \cos 4x},$$
$$C_1' \cdot \cos 4x + C_2' \cdot \sin 4x = 0.$$
        Решая совместно эти уравнения, получим $$C_1'(x) = {- 4 \sin 4x \over \cos 4x}, C_2'(x) = 4.$$
        Интегрируем найденные значения производных \( C_1'(x) , C_2'(x) \). Получим, искомые выражения: $$ C_1(x) = \int {-4 \sin 4x \over \cos 4x} dx = \ln \left | \cos 4x \right | + C_3, $$
$$ C_2(x) = \int 4 dx = 4x + C_4. $$ Здесь \( C_3, C_4 \) уже произвольные постоянные.
        Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид: $$ y(x) = ( C_3 + \ln \left | \cos 4x \right | ) \cdot \cos 4x + ( C_4 + 4x ) \cdot \sin 4x.$$         Производная общего решения исходного дифференциального уравнения равна $$ y'(x) = -4 \cdot ( C_3 + \ln \left | \cos 4x \right | ) \cdot \sin 4x + 4 \cdot( C_4 + 4x ) \cdot \cos 4x.$$         Для определения неизвестных постоянных \( C_3 , C_4 \) , подставим найденное общее решение и его производную в начальные условия. Получим $$ y(0) = ( C_3 + 0 ) \cdot 1 + ( C_4 + 0 ) \cdot 0 = 3,$$
$$ y'(0) = -4 \cdot ( C_3 + 0 ) \cdot 0 + 4 \cdot( C_4 + 0 ) \cdot 1 = 0.$$ Отсюда \( C_3 = 3, C_4 = 0. \)
        Таким образом, решение задачи Коши, получается следующим $$ y(x) = ( 3 + \ln \left | \cos 4x \right | ) \cdot \cos 4x + 4x \cdot \sin 4x.$$
        Ответ: Решение задачи Коши $$ y(x) = ( 3 + \ln \left | \cos 4x \right | ) \cdot \cos 4x + 4x \cdot \sin 4x.$$