Уравнения математической физики

Задача 8. Найти решение уравнения Лапласа $\Delta u=0$ в круговом секторе

Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

8.18. Найти решение уравнения Лапласа $\Delta u=0$ в круговом секторе $0\lt r\lt1, \; 0\lt\varphi\lt\alpha$ ($r, \varphi$ — полярные координаты, $\alpha\lt2\pi$ ), на границе которого искомая функция $u(r,\varphi)$ удовлетворяет следующим условиям: $\; u(1,\varphi)=18cos4\varphi; \; u_\varphi(r,0)=u_\varphi(r,\pi)=0$.

Решение.

Общее решение уравнения Лапласа имеет вид:$$u(r,\varphi)=\sum_{n=1}^\infty r^{\lambda_n}(A_ncos\lambda_n\varphi+B_nsin\lambda_n\varphi).$$ Частная производная общего решения уравнения Лапласа по переменной $\varphi$$$u_\varphi(r,\varphi)=\sum_{n=1}^\infty r^{\lambda_n}(-A_n\lambda_n sin\lambda_n\varphi+B_n\lambda_n cos\lambda_n\varphi).$$ Подставим граничные условия для определения коэффициентов $A_n, B_n$. Из условия $u_\varphi(r, 0)=0$ получим$$u_\varphi(r, 0)=\sum_{n=1}^\infty r^{\lambda_n}(-A_n \lambda_n sin0+B_n \lambda_n cos0)=\sum_{n=1}^\infty r^{\lambda_n}B_n \lambda_n=0.$$Следовательно, $B_n=0$.

Из условия $u_\varphi(r, \pi)=0$ получим$$u_\varphi(r, \pi)=\sum_{n=1}^\infty r^{\lambda_n}(-A_n \lambda_n sin\lambda_n \pi+B_n \lambda_n cos \lambda_n \pi)=-\sum_{n=1}^\infty r^{\lambda_n}A_n \lambda_n sin \lambda_n \pi=0.$$Следовательно, $\lambda_n\pi=\pi n$, так как, если принять все $A_n=0$, то решение будет тривиальным. Таким образом, собственные числа $\lambda_n=n$ и искомое решение уравнения Лапласа принимает вид$$u(r,\varphi)=\sum_{n=1}^\infty r^{\lambda_n}A_ncos\,n\varphi.$$ И у нас есть ещё одно третье граничное условие, в которое мы и подставим это решение. Получим$$u(1,\varphi)=\sum_{n=1}^\infty A_ncos\,n\varphi=18cos4\varphi.$$ Отсюда получаем значения коэффициентов $A_4=18, \; A_{n\neq4}=0$.

Таким образом, окончательно получаем искомое решение уравнения Лапласа в круговом секторе $\,u(r,\varphi)=18r^4cos4\varphi.$

Ответ: Решение уравнения Лапласа: $u(r,\varphi)=18r^4cos4\varphi.$