Задача 11. Найти область сходимости ряда.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
11.22. Найти область сходимости ряда. $$\sum_{n=1}^\infty {{(x^2+1)^n}\over{2^n(n+1)}}.$$
Решение.
В данном примере мы имеем функциональный ряд, для которого область сходимости может быть найдена при помощи признака Д'Аламбера. Согласно признаку Д′Аламбера ряд сходится абсолютно, если$$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = q\lt1.$$ Из этого неравенства мы и будем искать область сходимости ряда, а для этого запишем общий член ряда и последующий член ряда:$$a_n={{(x^2+1)^n}\over{2^n(n+1)}},\qquad a_{n+1}={{(x^2+1)^{n+1}}\over{2^{n+1}(n+2)}}.$$ Тогда предел$$q=\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|{{{(x^2+1)^{n+1}}\over{2^{n+1}(n+2)}}\over {{{(x^2+1)^n}\over{2^n(n+1)}}}}\right|= \lim_{n \to \infty} {{(x^2+1)^{n+1}}\over{(x^2+1)^n}}\cdot \lim_{n \to \infty} {{2^n(n+1)}\over {2^{n+1}(n+2)}}=$$ $$={(x^2+1)\over 2}\cdot\lim_{n \to \infty} {{n+1}\over {n+2}}={(x^2+1)\over 2}.$$ Область сходимости функционального ряда удовлетворяет неравенству$$q={(x^2+1)\over 2}\lt1.$$ Отсюда получаем \(x^2+1\lt2\) и \(x^2\lt1\).
Исследуем на концах интервала сходимости. При \(x=\pm1\) исходный функциональный ряд запишется в виде числового ряда$$\sum_{n=1}^\infty {{((\pm1)^2+1)^n}\over{2^n(n+1)}}=\sum_{n=1}^\infty {{(1+1)^n}\over{2^n(n+1)}}=\sum_{n=1}^\infty {{2^n}\over{2^n(n+1)}}=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n+1}=\sum_{n=2}^\infty \frac1n,$$который расходится как гармонический ряд.
Таким образом, область сходимости функционального ряда \(x\in(-1; 1)\).
Ответ: Область сходимости ряда \(x\in(-1; 1)\).