Общий план исследования функции и построения графика
1) Отыскивается область определения функции.
Исследование функции начинают с поиска области определения. Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена. При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения содержащие дроби, так как, знаменатель дроби не может обращаться в нуль. Следует обращать внимание на корни, так как, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Особое внимание следует обратить на логарифмы, входящие в выражение. Если функция содержит логарифм \(log_{g(x)}f(x),\) то на область определения накладываются ограничения исходя из неравенств$$\begin{cases}f(x)\gt0,\\ g(x)\gt0,\\ g(x)\neq0.\end{cases}$$
2) Исследуем общие свойства функции: чётность; нечётность; периодичность.
Функция \(f(x)\) называется чётной, если \(f(-x)=f(x).\) График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Например, функция \(f(x)=x^2\) — чётная, так как$$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).$$
Функция называется нечётной, если \(f(-x)=-f(x).\) График функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Для примера рассмотрим функцию \(f(x)=x^3.\) Она нечётная, так как$$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).$$ Если функция ни чётная, ни нечётная, то говорят, что функция имеет график общего положения.
Если существует \(T\) такое, что для любого \(x\) выполняется условие \(f(x+T)=f(x),\) то функция \(f(x)\) называется периодической. Наименьшее из чисел \(T\), удовлетворяющих указанному условию, называют периодом. График периодической функции строят так. Сначала строят график на одном периоде, а потом копируют построенный участок вдоль всей оси \(Ox.\) Запись периодические функции, как правило, содержит тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
Абсцисса пересечение с осью \(Ox\) ищется исходя из уравнения \(y=f(x)=0.\)
Ордината пересечение с осью \(Oy\) ищется подстановкой значения \(x=0\) в выражение функции \(y=f(x).\)
Если пересечение с осью \(Ox\) найти не удаётся, то обходятся без него. Обычно поиск пересечения с осью \(Oy\) не представляет труда.
4) Исследуется непрерывность функции, находятся точки разрыва.
Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_0\), если она определена в этой точке и существует предел \(\lim_{x\to x_0}f(x),\) который равен значению функции. То есть$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$ Функция называется непрерывной на промежутке (отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка (отрезка). График непрерывной функции может быть изображён без отрыва карандаша (мела, пера, ручки,…).
Точка \(x_0\) является точкой разрыва функции, если функция определена и непрерывна в окрестности точки \(x_0\), а в самой точке не является непрерывной (хотя может быть определённой). В этом случае говорят, что функция терпит разрыв в точке \(x_0\).
Выделяют три типа точек разрыва: устранимый разрыв; конечный разрыв (разрыв первого рода); бесконечный разрыв (разрыв второго рода).
5) Ищутся асимптоты графика функции.
Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Образно выражаясь, график как бы прилипает к асимптоте.
Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке \(x_0\) функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая \(x=x_0\) является вертикальной асимптотой. Например, в точке \(x=1\) разрыв второго рода имеет функция $$y(x)=\frac{2025}{x-1}$$Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты \(x=1\).
График функции имеет наклонную асимптоту при \(x\to+\infty\), если существуют конечные пределы$$k=\lim_{x\to+\infty}\frac{y(x)}x, \qquad b=\lim_{x\to+\infty}(y(x)-kx).$$ График функции имеет наклонную асимптоту при \(x\to-\infty,\) если существуют конечные пределы $$k=\lim_{x\to-\infty}\frac{y(x)}x, \qquad b=\lim_{x\to-\infty}(y(x)-kx).$$ При этом уравнение наклонной асимптоты \(y=kx+b.\)
Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет.
Если$$k=\lim_{x\to+\infty}\frac{y(x)}x=0, \qquad b=\lim_{x\to+\infty}(y(x)-kx)\neq\infty,$$то асимптота является горизонтальной и её уравнение \(x=b\).
6) Находятся критические точки графика и интервалы монотонности.
Функция \(y=f(x)\) имеет максимум в точке \(x_0\), если её значение в этой точке больше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку \(x_0\).
Функция \(y=f(x)\) имеет минимум в точке \(x_0\), если её значение в этой точке меньше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку \(x_0\).
Для определения критических точек находим производную по соответствующим правилам и используя таблицу производных. В критических точках производная равна нулю или не существует. Определяем знак производной в интервалах между критическими точками. Если на некотором интервале производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то на данном интервале функция убывает.
7) Ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости.
Для определения точек перегиба находят вторую производную. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. По знаку второй производной в интервалах между точками перегиба определяют направление выпуклости графика функции. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз. Если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх.
8) На основании проведённого исследования строим график.
Если необходимо вычисляем значение функции в некоторых промежуточных точках.
ВНИМАНИЕ! Вы можете посмотреть примеры полного исследования функции. Вы можете заказать исследование функции на нашем сайте.
Пример. Исследование функции и построение графика
Исследуем функцию, заданную формулой:$$y(x)=\frac2{x^2+2x}.$$
Придерживаемся общего плана исследования функции и построения графика.
1) Область определения: \(x^2+2x\neq0\) или \((x+2)x\neq0,\) то есть \(x\neq0\) и \(x\neq-2.\)
Таким образом: \(x\in(-\infty; \, -2)\cup(-2; \, 0)\cup(0; \, +\infty).\)
2) Точек пересечения с осью Ox нет. Действительно, уравнение \(\frac2{x^2+2x}=0\) не имеет решений. Точек пересечения с осью Oy нет, так как \(x\neq0.\)
3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как$$y(-x)=\frac2{(-x)^2+2(-x)}=\frac2{x^2-2x}.$$Видим, что \(y(-x)\neq-y(x)\) и \(y(-x)\neq y(x).\)
4) Функция непрерывна в области определения \(x\in(-\infty; \, -2)\cup(-2; \, 0)\cup(0; \, +\infty).\)$$\lim_{x\to-2-0}y(x)=\lim_{x\to-2-0}\frac2{x^2+2x}=+\infty; \qquad \lim_{x\to-2+0}y(x)=\lim_{x\to-2+0}\frac2{x^2+2x}=-\infty.$$Следовательно, точка \(x=-2\) является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).$$\lim_{x\to-0}y(x)=\lim_{x\to-0}\frac2{x^2+2x}=-\infty; \qquad \lim_{x\to+0}y(x)=\lim_{x\to+0}\frac2{x^2+2x}=+\infty.$$Следовательно, точка \(x=0\) является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
5) Вертикальные асимптоты:\(x=-2; \; x=0.\) Найдём наклонную асимптоту \(y=kx+b.\) Здесь$$\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac2{x^3+2x^2}=0; \qquad \lim_{x\to\infty}(y(x)-kx)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac2{x^2+2x}-0\right)=0.$$Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: \(y=0.\) Наклонных асимптот нет.
6) Найдём первую производную. Первая производная:$$y'(x)=\left(\frac2{x^2+2x}\right)'=2\frac{-(x^2+2x)'}{(x^2+2x)^2}=-\frac{4(x+1)}{(x^2+2x)^2}.$$
Cтационарные точки — это точки, в которых производная равна нулю, то есть$$y'(x)=-\frac{4(x+1)}{(x^2+2x)^2}=0.$$Тогда \(x+1=0,\) и \(x=-1.\)
7) Найдём вторую производную. Вторая производная равна$$y''(x)=\left(-\frac{4(x+1)}{(x^2+2x)^2}\right)'=-4\frac{(x+1)'(x^2+2x)^2-(x+1)\left((x^2+2x)^2\right)'}{\left((x^2+2x)^2\right)^2}=$$$$=-4\frac{(x^2+2x)^2-(x+1)\left(2(x^2+2x)(2x+2)\right)}{\left(x^2+2x\right)^4}=-4\frac{(x^2+2x)\left((x^2+2x)-4(x+1)^2\right)}{\left(x^2+2x\right)^4}=$$$$=-4\frac{x^2+2x-4x^2-8x-4}{\left(x^2+2x\right)^3}=\frac{4(3x^2+6x+4)}{\left(x^2+2x\right)^3}.$$ Найдём точки перегиба графика функции, в которых вторая производная обращается в ноль. То есть$$y''(x)=\frac{4(3x^2+6x+4)}{\left(x^2+2x\right)^3}=0 \quad или \quad 3x^2+6x+4=0.$$Решаем полученное квадратное уравнение.$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot3\cdot4=-12\lt0.$$Следовательно, решений нет. Тогда тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Ыункция имеет максимум в точке \(x=-1\), при этом \(y_{max}=y(-1)=-2.\)
8) Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
