Ответы на экзаменационные вопросы по Высшей математике Высшая математика. Математический анализ и вопросы интегрирования. Математика заочникам: нужна ли она.Программа по Высшей математике в техническом ВУЗе. |
Решение задач по векторной алгебре предполагает знание следующих тем.Вектора. Линейные операции над векторами. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства.Координаты вектора и его направляющие косинусы. Длина вектора. Угол между векторами. Векторное и смешанное произведения векторов.Умение решить задачу на уравнений плоскости и прямой подразумевает знания вопросов:Плоскость и общее уравнение плоскости. Различные виды уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.Различные виды уравнения прямой на плоскости. Общее и нормальное уравнения прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условия принадлежности прямой к плоскости.Чтобы решить задачу по линейной алгебре необходимы следующие знания.Понятие матрицы. Различные виды матриц. Действия над матрицами. Понятие определителя. Свойства определителей. Миноры и их алгебраические дополнения. Ранг матрицы. Разложение определителя по элементам строки и по элементам столбца.Присоединенная матрица. Обратная матрица, условие её существования. Вычисление обратной матрицы. Преобразование матриц. Ступенчатая матрица. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Основные понятия. Отыскание решений линейной системы уравнений методом Гаусса. Определение линейного пространства. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры линейных пространств. Свойства произвольных линейных пространств. Понятие линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении элемента пространства по данному базису и о единственности такого разложения.Система линейных однородных уравнений. Система линейных неоднородных уравнений.Понятие линейного оператора. Пространство линейных операторов. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Алгоритм нахождения собственных векторов.О преобразовании декартовых прямоугольных координат на плоскости. Линии 2го порядка. Квадратичная форма от двух переменных. Классификация линий 2го порядка. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.Для решения задач на числовые множества и последовательности необходимо закрепить следующие понятия.Числовые последовательности. Основные понятия. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Сходящиеся последовательности. Основные теоремы о числовых последовательностях.Задачи по высшей математике на темы: Функции одной переменной. Предел и непрерывность.Функция одной переменной. Основные понятия. Предел функции в бесконечности. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Асимптотические формулы для бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции. Асимптоты графика функции.Непрерывность функции. Три определения непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции. Основные свойства непрерывных функций: теоремы БольцаноКоши, теоремы Вейерштрасса. Сложная функция. Теорема о непрерывности сложной функции. Обратная функция. Теорема о непрерывности обратной функции.Задачи по математике на темы: Функции одной переменной. Дифференцирование.Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Понятие обратной функции. Теорема о существовании обратной функции и теорема о производной обратной функции. Геометрический смысл производной обратной функции. Вычисление производных функций ах, arcsinx, arctgx. Правило дифференцирования сложной функции. Логарифмическая производная. Производные показательностепенной и гиперболических функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Параметрическое задание функции. Теорема о дифференцировании функции, заданной параметрически. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Геометрический смысл теорем Ролля и Ферма. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Неопределенности. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение функций ех, sinx, cosx, (1+x)c, где c – вещественное число, по формуле Маклорена. Примеры вычисления пределов с использованием формулы Маклорена. Признак монотонности функции. Точки локального экстремума функции. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Теорема о направлениях выпуклости графика функцииРешение задачи по математике на темы: Функции одной переменной. Интегрирование.Первообразная и неопределённый интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Три группы интегралов, интегрируемых по частям.Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу. Условие существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Понятие рациональной функции от двух аргументов. Интегрирование рациональных функций. Интегралы от дробно-линейной и квадратичной иррациональностей. Интегрирование биномиальных и трансцендентных выражений. Неберущиеся интегралы. Полярная система координат. Квадратура криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Длина дуги кривой. Площадь поверхности и объем тела вращения.Несобственные интегралы с бесконечными пределами.Основные понятия и простейшие свойства. Методы интегрирования и признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Абсолютная сходимость. Признак сходимости несобственного интеграла от бесконечно малой функции. Понятие о несобственном интеграле от неограниченной функции.Решение задач по высшей математике из области функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.Арифметическое n-мерное пространство. Открытая и замкнутая области. Сходимость в n-мерном пространстве. Понятие функции многих переменных. Поверхности и линии уровня. Предел функции в точке. Непрерывность функции многих переменных. Основные свойства непрерывных функций.Задач по высшей математике на тему: Дифференцирование функций нескольких переменных.Полное и частные приращения функции. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Производные сложных функций.Дифференциал функции. Полный и частные дифференциалы функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Инвариантность формы полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Неявные функции. Теорема существования неявной функции одной переменной. Вывод формулы для нахождения производной неявной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Символическая запись n-го дифференциала. Формула Тейлора для функции одной переменной и для функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных. Обобщенная теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Критические и стационарные точки. Теорема об экстремуме функции двух переменных. Условные (относительные) экстремумы. Условные стационарные точки. Метод отыскания условных экстремумов (метод Лагранжа). Функция Лагранжа.Задач по математике на тему: Интегрирование функций нескольких переменных.Определение и условия существования двойного и тройного интегралов. Геометрическая трактовка двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Координатные линии. Криволинейные координаты. Полярные координаты, как один из видов криволинейных координат.Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Якобиан. Переход к полярным координатам. Вычисление тройных интегралов. Приложения двойных и тройных интегралов. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление. Двусторонняя и односторонняя поверхности. Поверхностные интегралы второго рода. Общий поверхностный интеграл второго рода и его вычисление. Связь с поверхностным интегралом первого рода.Элементы векторного анализа.Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность и дифференцируемость векторфункции. Правила дифференцирования векторфункции. Производные и дифференциалы высших порядков векторфункции. Формула Тейлора. Скалярное и векторное поля. Потенциальное поле. Условия потенциальности векторного поля. Поток векторного поля. Дивергенция. Соленоидальное векторное поле. Формула Остроградского в векторной и скалярной формах. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной и скалярной формах. Формула Грина. Операторы Гамильтона и Лапласа. Применение их в векторном анализе.Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Дифференциальные уравнения (общие понятия). Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. О решении задачи Коши. Теорема Коши и её геометрическое содержание.Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения в полных дифференциалах. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения первого порядка. Методы Лагранжа и Бернулли решения линейного неоднородного уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков.Методы понижения порядка трёх типов уравнений. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (основные понятия). Линейная зависимость и линейная независимость функций. Вронскиан. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о пространстве решений однородного уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит кратные корни. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит комплексные корни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.Системы дифференциальных уравнений.Устойчивость. Динамические системы.Системы дифференциальных уравнений (основные понятия). Задача Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений. Теорема Коши. Вронскиан системы вектор-функций. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной линейной системы. Об общем решении неоднородной линейной системы. Дифференциальная однородная система с постоянной матрицей. Метод Эйлера. Устойчивость (по Ляпунову) решений дифференциальной системы (общие понятия). Устойчивость линейных систем. Устойчивость по первому приближению точек покоя нелинейных систем. Динамические системы дифференциальных уравнений.Ряды.Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.Функциональный ряд.Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.Высшая математика. Решение задач на тему: Комплексные числа.Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра.Математика. Решение задач на тему: Функции комплексного переменного.Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскость. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.Ряды с комплексными членами. Представление экспоненциальной, тригонометрических и гиперболических функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.Интеграл от функции комплексного переменного.Первообразная и неопределённый интеграл. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.Ряд Лорана. Вычеты.Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Свойства ряда Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.Высшая математика. Решение задач на тему: Операционное исчисление.Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование изображения. Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свёртка функций. Изображение основных элементарных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.Ряды Фурье. Интеграл Фурье.Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме.Элементы дискретной математики.Множества и основные операции над множествами. Отношения и функции. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества.
Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения. Отношение эквивалентности. Фактор-множества. Отношение порядка. Алгебраические системы.
Натуральные числа. Принцип математической индукции. Системы счисления.
Элементы теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Некоторые задачи теории графов.
Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Высказывания. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Функции алгебры логики.
Эквивалентность формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
Помощь в решении задач по математике |
|